Планиметрия на устном туре Турнира Городов

Первое решение.

Пусть — точка пересечения отрезка и дуги . Так как , то — биссектриса угла и по теореме о трилистнике — центр вписанной в треугольник окружности. Следовательно, — биссектриса угла . С другой стороны, так как серединный перпендикуляр к , то , то есть — биссектриса угла . Из этих двух утверждений следует утверждение задачи.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Обозначим . Необходимо доказать, что .

Заметим, что

Далее, , как центральный и вписанный в окружность ( ), а также , как центральный и вписанный в окружность ( ). Тогда

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

В условии задачи дано, что точки и лежат не только внутри окружности , но и внутри вписанного в неё треугольника . Последнее условие на самом деле излишне. Из остальных условий задачи следует, что точки и изогонально сопряжены относительно треугольника . Но если обе изогональные точки лежат внутри описанной окружности, то они лежат и внутри треугольника, поскольку при изогональном сопряжении три сегмента, ограниченные сторонами треугольника и дугами описанной окружности, переходят в три угла, вертикальных углам треугольника