Планиметрия на устном туре Турнира Городов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка 
— центр вписанной окружности треугольника 
, а 
— точка касания этой окружности со стороной 
.
Пусть 
и 
— ортоцентры треугольников 
и 
соответственно. Докажите, что точки 
лежат на одной
прямой.
Источники:
Подсказка 1
Самый простой способ доказать, что точки Q, T, P лежат на одной прямой - это показать, что ∠QTC = ∠ATP. Однако простым счётом уголков к ∠QTC и ∠ATP не подобраться. Тогда можно попробовать доказать это через подобие треугольников ATP и QTC.
Подсказка 2
Воспользуемся тем, что P и Q — ортоцентры. Мы получаем, что AP ⊥ BE и QC ⊥ BE. Что тогда можно сказать про прямые AP и BE?
Подсказка 3
Верно! Они же параллельные, а значит, ∠PAT = ∠QCT. Отлично! Теперь для подобия осталось лишь показать, что AT/AP = CT/CQ. Но мы ещё никак не использовали, что T — точка касания. Отметьте две другие точки касания вписанной окружности с треугольником и попробуйте переносить отрезки.
Подсказка 4
Теперь мы получаем, что достаточно доказать, что AK/AP = CL/CQ (L - точка касания вписанной окружности с BC). Можно заметить, что это стороны △APK и △CQL. Что можно сказать про эти треугольники?
Первое решение.
Случай 
очевиден. Иначе основания 
и 
высот 
и 
лежат на биссектрисе 
по разные стороны от 
,
прямые 
и 
параллельны и 
. Задача будет решена, если мы докажем подобие треугольников
и 
(тогда равные углы 
и 
вертикальны и точки 
лежат на одной прямой). Для этого достаточно проверить,
что 
.
Пусть 
и 
— точки касания окружности со сторонами 
и 
соответственно. Тогда 
, и осталось доказать
равенство 
. Оно следует из подобия треугольников 
и 
: они прямоугольные, а поскольку 
— биссектриса
угла 
, углы 
и 
равны.
Второе решение.
Так как 
содержит высоту треугольника 
, то 
. Пусть 
— точка касания 
со вписанной окружностью, так что
. Тогда
Аналогично 
, откуда 
. И также 
, откуда 
. Таким образом, 
.
Значит, 
, откуда и следует, что 
на одной прямой.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
