Теория чисел на ММО

Первое решение.

Приведём несколько примеров таких многочленов.

1) Пусть

и Проверим, что не делится на 32. Действительно

не делится на 32. Теперь проверим, что делится на 32 для любого простого числа и любого натурального Если или то многочлен тождественно равен 0. Для где имеем

Наконец, если простое число нечётно (а значит, и нечётно), то делится на 32, так как при любом нечётном значение делится на а значит, и на 32.

2) Пусть

и . Сначала проверим, что делится на 27 при всех простых и натуральных Начнём со случая Заметим, что первое слагаемое делится на а значит, и на 27. Остаётся проверить, что делится на 27 для чисел вида где При и это проверяется непосредственно; при число также делится на 27. Теперь проверим утверждение для простых чисел В этом случае взаимно просто с а значит, достаточно доказать утверждение кратно при любом взаимно простом с . Для этого заметим, что при всех таких по теореме Эйлера выполняется соотношение

Тогда

Остаётся проверить, что не делится на 27. Для этого снова заметим, что число делится на 27, а число не делится на 27.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть — простое, и пусть — все не кратные натуральные числа, меньшие Положим

Действительно, тогда

не кратно При число имеет остаток от деления на не кратный поэтому один из множителей в определении будет кратен при При и уже число будет кратно Наконец, при значение делится на