Теория чисел на ММО

Если число целое при , то оно чётное. Обозначим . Тогда . Возводя это равенство в квадрат, получаем

Число чётное: , где .

Тогда

Поскольку числа и взаимно просты, следует рассмотреть два случая:

1) , где ;

2) , где .

В первом случае имеем , то есть даёт остаток 2 при делении на 3 . Это невозможно, так как точный квадрат может давать при делении на 3 только остатки 0 или 1.

Во втором случае получаем - точный квадрат.

Первое решение. По неравенству о средних:

Второе решение. Числа и неотрицательны, поэтому исходное равенство можно рассматривать как квадратное уравнение относительно

По условию это уравнение имеет хотя бы одно решение, а значит,

Пусть натуральное число таково, что делится на Тогда делится на и на поэтому — нечётное число, имеющее остаток при делении на Помимо того, делится на Заметим, что если два числа сравнимы по модулю (т.е. дают одинаковые остатки при делении на ), то седьмые степени этих чисел также сравнимы по модулю Это означает, что для нахождения искомого числа достаточно рассмотреть все целые числа из промежутка удовлетворяющие сравнению

Мы будем пользоваться следующим утверждением. Пусть — простое число, — многочлен степени с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого не делится на тогда сравнение имеет не более решений среди целых чисел

Найдём теперь все решения сравнения на отрезке Нам известны два решения: , Заметим, что если — решение сравнения то для любого натурального числа также являются решениями. Следовательно, решениями данного сравнения являются числа

Итак, мы нашли семь решений на отрезке Так как число простое, по сформулированному выше утверждению других решений на этом отрезке нет. Из них нечётными и имеющими остаток при делении на являются и Из них наименьшее, большее есть

Предпоследняя цифра числа равна так как число без последней цифры делится на Значит, число хотя бы четырехзначное. Заметим, что число, оставшееся после стирания последней цифры, не может равняться по условию. Также это число не может равняться и так как числа вида и не делятся на Для существует единственный пример:

Пусть наименьшее подходящее число имеет вид Из условия следует, что среди его цифр нет и Если в числе есть цифры или то их можно заменить на или соответственно и получить меньшее число с тем же свойством. Таким образом, искомое число состоит из цифр от до

Рассмотрим соседние цифры и По условию числа с замененными семеркой цифрами и делятся на следовательно, их разность также кратна то есть для любого Значит, запись числа может быть устроена только следующим образом: за следует за следует (поскольку цифры в числе нет) и так далее.

По условию исходное число, у которого вместо последней цифры стоит делится на Следовательно, исходное число без последней цифры делится на Используя несколько раз сравнение получаем:

Поскольку не делится на заключаем, что делится на поэтому наименьшее возможное равно Таким образом, наименьшее возможное число состоит не менее чем из восьми знаков. Остается заметить, что число удовлетворяет условию задачи, а поскольку оно начинается с то это число и будет наименьшим.

Пусть — больший корень многочлена , тогда .

Докажем по индукции, что число целое при любом целом неотрицательном .

Действительно, это верно при . Кроме того,

что позволяет проделать шаг индукции.

Положим , тогда

Значит, и есть верхняя целая часть , а ближайший к ней квадрат целого числа равен .

Поскольку то сумма квадратов всех чисел на доске увеличивается в два раза с каждым ходом. Из формулы

ясно, что сумма квадратов последовательных целых чисел даёт остаток при делении на Значит, сумма квадратов последовательных целых чисел тоже даёт остаток при делении на

Таким образом, после первого хода сумма квадратов чисел на доске всегда будет делиться на и, следовательно, на доске никогда больше не появятся последовательных целых чисел.

Число является -значным, если т. е. Значит, Если то (и значит, так как

Если то (и значит, так как

Данное равенство при условии, что и определены, эквивалентно равенству откуда где Следовательно, разность делится нацело на а значит, на и на Поскольку сумма всех цифр делится на то каждое из чисел и делится на

Наибольшее пятизначное число, все цифры которого различны, равно Ближайшее к нему меньшее число, делящееся на равно и содержит повторяющиеся цифры. Последовательно уменьшая это число на получаем числа Первые два из них также содержат повторяющиеся цифры. Третье состоит из различных цифр, но поскольку то его тангенс не определён. Число также состоит из различных цифр. Если взять, например, то получим поэтому число искомое.

С одной стороны, поскольку и имеем

То есть число даёт остаток при делении на С другой стороны, кубы натуральных чисел дают только остатки и при делении на Значит, сумма кубов двух натуральных чисел может дать лишь остатки или при делении на но не может дать

Заметим, что

Следовательно, С другой стороны,

Поэтому в записи числа ровно девять цифр. Если среди них нет нуля, то сумма цифр в десятичной записи этого числа равна Отсюда следует, что делится на что не так. Противоречие.

По условию (где число, составленное из всех цифр, кроме первой, — первая цифра). Пусть – количество цифр в числе Отсюда

Если то у числа а значит, и у искомого числа, есть две совпадающие цифры (два нуля на конце). Если же то

Ясно, что чем больше тем больше исходное число. При число состоит из цифр, а не из трех. При мы получаем а исходное число равно Значит, наибольшее искомое число равно

Если то а значит, делится на

Пусть Возьмём тогда и следовательно,

Если то в силу неравенства получаем неравенство что противоречит

Если то должно делиться на все что невозможно.

Таким образом, пары, в которых нам не подходят.

Пусть это число . Тогда . Отсюда и . Тогда так как разница множителей равна 8, то ровно одно из них делится на 5 и поэтому оно делится сразу на и оба множителя кратны 4 (так как если один не кратен, то и второй не кратен и тогда их произведение не может быть равно ). Отсюда один из множителей делится на 500 = . Значит, . Давайте проверим эти числа

Итак, минимальное число равно 996.

Обозначим через и сумму цифр, стоящих на чётных и нечётных местах соответственно. Из признаков делимости на 9 и на 11 следует, что кратно 9, а кратно 11. Но все цифры чётные, поэтому делится на 18, а — на 22. Также заметим, что . Если , то . Но из этого следует, что , чего не может быть в силу чётности и . Если , то в нашем числе будет не менее 7 цифр, поскольку 8·6 = 48 < 54. Пусть . Тогда или . В первом случае одно из чисел и равно 29, а другое – 7, чего не может быть. Во втором случае . Заметим, что 18 нельзя представить в виде суммы менее чем трёх чётных цифр, поэтому наше число хотя бы шестизначное. Осталось заметить, что наименьшее шестизначное число, удовлетворяющее условиям задачи, — это 228888. Действительно, первая цифра не может быть меньше 2, вторая — тоже, поскольку если она равна 0, то общая сумма цифр не больше .

Cреди восьми последовательных натуральных чисел найдутся числа, дающие остатки и при делении на Они делятся на но не делятся на так что они обязаны иметь вид и Тогда то есть что невозможно. Противоречие.

Положим и построим по индукции такие числа , что десятичная запись оканчивается на единицу, а десятичная запись числа оканчивается на комбинацию из n единиц и двоек.

Пусть число уже построено, то есть выполнено предположение для . Рассмотрим числа вида , где . Десятичная запись каждого из них оканчивается на 1. Кроме того,

Посмотрим на последние цифр десятичной записи каждого из слагаемых этой суммы.

Запись числа оканчивается на комбинацию из единиц и двоек по предположению индукции. Обозначим через -ю с конца цифру этого числа. Нетрудно видеть, что десятичная запись оканчивается на нулей, перед которыми идет последняя цифра числа (так как оканчивается на единицу). Десятичная же запись слагаемого оканчивается на нулей.

Имеем, что последние цифр десятичной записи чисел совпадают с последними цифрами десятичной записи числа . При этом -я с конца цифра числа совпадает с последней цифрой суммы . Если нечётно, то для некоторого сумма оканчивается на единицу (помним, что . Если чётно, то для некоторого k сумма оканчивается на двойку. Следовательно, одно из чисел можно взять в качестве числа .

Итак, мы получили числа, которые заканчиваются на какую-то комбинацию из единиц и двоек. Более того, мы даже знаем, что последняя цифра всегда будет единицей.

Пусть и . Тогда в силу получаем

Следовательно, найдётся такое натуральное число , которое не меньше , но меньше . Тогда десятичная запись квадрата этого числа начинается на единиц.

Рассмотрим число , где больше количества цифр в десятичных записях чисел и . Тогда первые цифр десятичной записи числа

совпадают с первыми цифрами десятичной записи числа , а последние цифр — с последними цифрами десятичной записи числа . Следовательно, число удовлетворяет условию задачи.

Разбив числа от до на пары

получим чётное число пар с суммой Числа от до можно разбить так: Для них в результате получим произведение Значит, в итоге получится полный квадрат.

Например,

Запишем разность двух чисел, которые хотим сравнить, и преобразуем её:

Заметим, что и Следовательно, уменьшаемое больше вычитаемого, то есть разность положительна. Значит, первое число больше, будет знак