Теория чисел на ММО
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что число 
является суммой квадратов трёх натуральных чисел. Докажите, что число 
тоже является суммой квадратов
трёх натуральных чисел.
Подсказка 1
Самый главный вопрос - как нам так разложить n²! Давайте запишем его как (a²+b²+c²)² и раскроем скобки! Получившиеся слагаемые необходимо сгруппировать в три квадрата.
Подсказка 2
Заметим, что a⁴, b⁴, c⁴ получились тогда из одного из этих квадратов. Но это не мог быть (a²+b²+c²)² , значит попробуем (a²+b²-c²)². Тогда посмотрите, какие слагаемые еще останутся, если часть мы сгруппируем в такой квадрат, и попробуйте остальное тоже разложить как квадраты!
Сделаем обозначения по условию: 
Если мы упорядочим так переменные, то натуральным будет
число 
Попробуем собрать его квадрат с ещё двумя другими
натуральными:
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание.
Если число 
является суммой квадратов двух натуральных чисел, то число 
уже не обязательно является суммой квадратов двух
натуральных чисел, например,
несмотря на справедливость схожего с решением по виду тождества
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание.
В виде суммы четырёх квадратов целых чисел можно представить уже любое натуральное число. Это одна из теорем Лагранжа.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
