Теория чисел на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наибольшее натуральное число, все цифры в десятичной записи которого различны и которое уменьшается в пять раз, если зачеркнуть первую цифру.
Источники:
Подсказка 1
Попробуйте представить число так, чтобы оно имело вид суммы двух слагаемых, одно из которых-число после зачеркивания.
Подсказка 2
Да, мы представили n=a*10^(k-1)+m, где a-первая цифра, k-кол-во цифр. Но ведь тогда a*10^(k-1)=4m. Попробуйте оценить k, зная, что в числе нет одинаковых цифр.
Подсказка 3
Ура! Мы получили, что k<=4(так как иначе на конце будет две одинаковые цифры-нули). Остается перебрать варианты и выбрать максимальное число.
По условию 
(где 
число, составленное из всех цифр, кроме первой, 
— первая цифра). Пусть 
– количество цифр в числе
Отсюда
Если 
то у числа 
а значит, и у искомого числа, есть две совпадающие цифры (два нуля на конце). Если же 
то
Ясно, что чем больше 
тем больше исходное число. При 
число 
состоит из 
цифр, а не из трех. При 
мы получаем
а исходное число равно 
Значит, наибольшее искомое число равно 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
