Теория чисел на ММО
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Ученик не заметил знака умножения между двумя семизначными числами и написал одно четырнадцатизначное число, которое оказалось в три раза больше их произведения. Найдите эти числа.
Подсказка 1
Пусть даны числа n и m. В силу условия следует равенство m*10^7+n=3mn(так как числа семизначные). Чему кратно n и как это можно использовать?
Подсказка 2
Действительно, n кратно m. Значит мы можем записать n=mk и подставить в исходное равенство. Что можно сказать про k и n в таком случае(учитывая что числа m и n имеют одинаковое кол-во знаков)?
Подсказка 3
Да, мы можем сказать, что k<10 (так как числа имеют одинаковое кол-во знаков). Но также можно сказать, что 10⁷<3n<10⁷+10, откуда 3333334<=n<=3333336. Как теперь можно улучшить оценку на k?
Подсказка 4
В силу того, что m ≥ 10⁷, n/m<4, а значит k<4, а значит k<=3. Осталось учесть тот факт, что 10⁷+k кратно 3, и получить ответ!
Пусть на доске было написаны семизначные числа 
в виде 
После того, как ученик стёр знак умножения, получилось число,
равное 
По условию имеем 
Первое решение.
Так как 
то 
при некотором 
и 
Число 
семизначное, поэтому 
, тогда 
. Если 
, то получаем 
противоречие.
При 
имеем 
противоречие с тем, что в уравнении 
левая часть делится на 
, а
правая не делится.
При 
имеем 
, откуда 
.
При 
имеем 
противоречие с делимостью на 
.
Второе решение.
Так как 
то 
при некотором 
и 
Как отношение семизначных чисел 
, поэтому 
. Следовательно, 
.
Значит, 
, то есть 
. Лишь одно число в этом интервале делится на 
это 
. Поэтому
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
