Теория чисел на ММО

Положим и построим по индукции такие числа , что десятичная запись оканчивается на единицу, а десятичная запись числа оканчивается на комбинацию из n единиц и двоек.

Пусть число уже построено, то есть выполнено предположение для . Рассмотрим числа вида , где . Десятичная запись каждого из них оканчивается на 1. Кроме того,

Посмотрим на последние цифр десятичной записи каждого из слагаемых этой суммы.

Запись числа оканчивается на комбинацию из единиц и двоек по предположению индукции. Обозначим через -ю с конца цифру этого числа. Нетрудно видеть, что десятичная запись оканчивается на нулей, перед которыми идет последняя цифра числа (так как оканчивается на единицу). Десятичная же запись слагаемого оканчивается на нулей.

Имеем, что последние цифр десятичной записи чисел совпадают с последними цифрами десятичной записи числа . При этом -я с конца цифра числа совпадает с последней цифрой суммы . Если нечётно, то для некоторого сумма оканчивается на единицу (помним, что . Если чётно, то для некоторого k сумма оканчивается на двойку. Следовательно, одно из чисел можно взять в качестве числа .

Итак, мы получили числа, которые заканчиваются на какую-то комбинацию из единиц и двоек. Более того, мы даже знаем, что последняя цифра всегда будет единицей.

Пусть и . Тогда в силу получаем

Следовательно, найдётся такое натуральное число , которое не меньше , но меньше . Тогда десятичная запись квадрата этого числа начинается на единиц.

Рассмотрим число , где больше количества цифр в десятичных записях чисел и . Тогда первые цифр десятичной записи числа

совпадают с первыми цифрами десятичной записи числа , а последние цифр — с последними цифрами десятичной записи числа . Следовательно, число удовлетворяет условию задачи.