Теория чисел на ММО

Пусть наименьшее подходящее число имеет вид Из условия следует, что среди его цифр нет и Если в числе есть цифры или то их можно заменить на или соответственно и получить меньшее число с тем же свойством. Таким образом, искомое число состоит из цифр от до

Рассмотрим соседние цифры и По условию числа с замененными семеркой цифрами и делятся на следовательно, их разность также кратна то есть для любого Значит, запись числа может быть устроена только следующим образом: за следует за следует (поскольку цифры в числе нет) и так далее.

По условию исходное число, у которого вместо последней цифры стоит делится на Следовательно, исходное число без последней цифры делится на Используя несколько раз сравнение получаем:

Поскольку не делится на заключаем, что делится на поэтому наименьшее возможное равно Таким образом, наименьшее возможное число состоит не менее чем из восьми знаков. Остается заметить, что число удовлетворяет условию задачи, а поскольку оно начинается с то это число и будет наименьшим.