Теория чисел на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее натуральное число 
которое не делится на 
но если вместо любой его цифры поставить семёрку, то
получится число, которое делится на 
Источники:
Подсказка 1
Подумаем, какие цифры не могут входить в искомое число. А если ещё использовать и то условие, что наше число минимальное из возможных?
Подсказка 2
Теперь, когда понятно, какие цифры могут входить в искомое число, можно рассмотреть две соседние цифры. Если заменить k-ую или (k+1)-ую цифру на 7, то получатся кратные семи числа, но тогда и их разность будет кратна 7. Значит можно найти эту разность и попробовать связать между собой соседние цифры (по модулю 7).
Подсказка 3
Должно получиться, что 10*a_k и а_(k+1) сравнимы по модулю 7, где a_k и а_(k+1) — k-ая и (k+1)-ая цифры числа. Заметим также, что если отбросить последнюю цифру от искомого числа, получится число, кратное 7. Теперь, используя это, можно преобразовать искомое число без последней цифры (преобразования по модулю 7) и с помощью этого получить оценку на количество цифр в нашем числе.
Подсказка 4
После оценки нужен пример на число с именно таким количеством цифр! Но мы уже знаем, какая цифра за какой должна следовать, поэтому в составлении подходящего числа нет никакой свободы выбора.
Пусть наименьшее подходящее число имеет вид 
Из условия следует, что среди его цифр нет 
и 
Если в числе есть цифры
или 
то их можно заменить на 
или 
соответственно и получить меньшее число с тем же свойством. Таким образом, искомое
число состоит из цифр от 
до 
Рассмотрим соседние цифры 
и 
По условию числа с замененными семеркой цифрами 
и 
делятся на 
следовательно, их разность также кратна 
то есть 
для любого 
Значит, запись числа может
быть устроена только следующим образом: за 
следует 
за 
следует 
(поскольку цифры 
в числе нет) и так
далее.
По условию исходное число, у которого вместо последней цифры стоит 
делится на 
Следовательно, исходное число без последней
цифры делится на 
Используя несколько раз сравнение 
получаем:
Поскольку 
не делится на 
заключаем, что 
делится на 
поэтому наименьшее возможное 
равно 
Таким образом,
наименьшее возможное число состоит не менее чем из восьми знаков. Остается заметить, что число 
удовлетворяет условию
задачи, а поскольку оно начинается с 
то это число и будет наименьшим.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
