Теория чисел на ММО
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В десятичной записи целого числа 
все цифры, кроме первой и последней, нули, первая и последняя – не нули, число цифр – не меньше
трёх. Доказать, что 
не является точным квадратом.
Подсказка 1
Пойдем от противного: предположим, что А является точным квадратом.
Подсказка 2
Что можно сказать о последней цифре А?
Подсказка 3
Докажите, что А может оканчиваться только на 1, 4 или 9.
Подсказка 4
Рассмотрите квадратный корень последней цифры А.
Подсказка 5
Давайте его просто выкинем: будем рассматривать число A - x², где x — квадратный корень последней цифры А.
Подсказка 6
Пусть k — количество нулей в A - x². Что можно сказать о делимости на 5?
Подсказка 7
x не делится на 5, что тогда можно сказать о множителях A - x²?
Подсказка 8
Вспомните формулу разности квадратов.
Подсказка 9
Попробуйте найти противоречие с (k+1)-значностью A.
Предположим, что 
точный квадрат. Тогда его последняя цифра будет 
или 
Но точный квадрат не может оканчиваться ни на
ни на 
– например, потому что число, оканчивающееся на 
дает остаток 
при делении на 
а число, оканчивающееся на
дает остаток 
при делении на 
Следовательно, число 
оканчивается на одну из цифр 
Обозначим через 
квадратный корень из последней цифры числа 
Пусть 
– число нулей в числе 
(Можно считать, что 
) Так как число 
не делится на 
то ровно одно из чисел
делится на 
а значит, и на 
Следовательно, одно из этих чисел не меньше 
а другое не меньше 
(ведь
). Значит, произведение этих чисел не меньше, чем 
что противоречит 
-значности числа 
Итак, число 
не может быть точным квадратом.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
