Теория чисел на ММО
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите в натуральных числах уравнение
Подсказка 1
Попробуйте посмотреть на остатки от деления.
Подсказка 2
У выражения в правой части остаток от деления на 3 должен совпадать с остатком от деления на 3 левой части, каким тогда будет z?
Подсказка 3
z должно быть четным, чтобы остаток от деления на 3 равнялся единице. На какие ещё остатки можно посмотреть?
Подсказка 4
Из-за совпадения остатков по модулю 4, x тоже будет чётным.
Подсказка 5
Преобразуйте равенство 4ʸ = 5ᶻ - 3ˣ.
Подсказка 6
4ʸ = 2²ʸ, а z и x — четные. Какой вывод можно сделать?
Подсказка 7
Получится, что 2²ʸ = (5ᵘ - 3ᵛ)(5ᵘ + 3ᵛ), где z = 2u, x = 2v. Тогда скобки справа являются степенями двойки.
Подсказка 8
Выразите 5ᵘ и 3ᵛ.
Правая часть при делении на 
должна давать тот же остаток, что и левая, то есть 
Поэтому 
чётно. Аналогично, левая часть делится
на 
с остатком 
поэтому 
тоже чётно. Итак,
Обе скобки справа являются степенями двойки. Пусть 
и 
где 
и 
Тогда,
Отсюда 
Значит, 
делится на 
Тогда 
четное, но не делится на 
поскольку 
нечетное целое число.
Таким образом 
и 
Поскольку 
четное число, 
тоже чётно, 
Тогда
– произведение двух чисел, отличающихся на 
и являющихся степенями тройки. Следовательно, эти множители это 
и 
Значит,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
