Теория чисел на ММО
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Ученик не заметил знак умножения между двумя трёхзначными натуральными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа.
Подсказка 1
Пусть x и y — исходные трёхзначные числа. Как тогда можно переформулировать условие задачи?
Подсказка 2
y — трёхзначное, как слева к нему "приписать" x через сложение?
Подсказка 3
Представьте полученное число как 1000x + y. Тогда оно равно 7xy.
Подсказка 4
Что можно сказать про делимость y?
Подсказка 5
1000x + y = 7xy, 1000x кратно x, тогда и y кратно x. Какую замену можно сделать?
Подсказка 6
Пусть y = kx.
Подсказка 7
Заметим, что если k ≥ 10 y не является трёхзначным числом.
Подсказка 8
Подумайте о делимости на 7.
Пусть 
и 
— исходные трехзначные числа. Число, составленное из них, равно 
Тогда из условия имеем уравнение
Так как 
и 
трехзначные числа, то 
С учетом этого наше уравнение принимает вид
Это уравнение в целых числах. Так как 
и 
то и 
Пусть тогда 
После подстановки уравнение примет
вид
Разделим уравнение на 
Ясно, что 
так как при 
получаем 
но это противоречит условию о том, что число 
—
трехзначное.
Так как 
то 
Так как 
— первое число, большее или равное 
делящееся на 
Тогда 
имеет остаток
при делении на 
Таким образом, 
или 
- При
уравнение имеет вид 
откуда 
Так как 
то 
- При
уравнение имеет вид 
откуда 
Но 
— трехзначное число. Противоречие
и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
