Тема ММО (Московская математическая олимпиада)

Теория чисел на ММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#91094Максимум баллов за задание: 7

Будем называть натуральное число почти квадратом, если это либо точный квадрат, либо точный квадрат, умноженный на простое число. Могут ли $8$ почти квадратов идти подряд?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вам дано 8 последовательных чисел. Подумайте, почему именно 8, а не меньше.

Подсказка 2

Это сделано для того, чтобы они имели разные остатки при делении на 8. Рассмотрите числа 8k, 8k + 1, ..., 8k + 7 в контексте условия задачи.

Подсказка 3

Давайте посмотрим на число 8k + 2. Что вы видите? Конечно, оно делится на 2, но не делится на 4. А что это значит? А про другие числа что можно сказать?

Показать ответ и решение

Cреди восьми последовательных натуральных чисел найдутся числа, дающие остатки $2$ и $6$ при делении на $8.$ Они делятся на $2,$ но не делятся на $4,$ так что они обязаны иметь вид $2 2k$ и $2 2m .$ Тогда $2 2 2k − 2m = 4,$ то есть $2 2 k − m = 2,$ что невозможно. Противоречие.

Ответ:

нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#46233Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любого натурального $n$ найдётся натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается $n$ единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из $n$ единиц и двоек.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Воспользуйтесь индукцией! Попробуем построить такие числа по индукции. База простая, верно?

Подсказка 2!

Да! M1 = 1. Попробуем теперь по Mn построить число M(n+1). Для этого нужно рассмотреть все возможные такие числа.

Подсказка 3!

Давайте попробуем сделать так: Mn + k*10^n, чтобы условие выполнилось про единицы, рассмотрим все числа для k от 0 до 9. Осталось разобраться со вторым!

Показать ответ и решение

Положим $m =1 1$ и построим по индукции такие числа $m n$ , что десятичная запись $m n$ оканчивается на единицу, а десятичная запись числа $2 mn$ оканчивается на комбинацию из n единиц и двоек.

Пусть число $mn$ уже построено, то есть выполнено предположение для $n$ . Рассмотрим числа вида $n pk = mn +k⋅10$ , где $k ∈{0,1,2,...,9}$ . Десятичная запись каждого из них оканчивается на 1. Кроме того,

2 2 n 2 2n pk = mn +2kmn ⋅10 + k 10

Посмотрим на последние $n+ 1$ цифр десятичной записи каждого из слагаемых этой суммы.

Запись числа $2 mn$ оканчивается на комбинацию из $n$ единиц и двоек по предположению индукции. Обозначим через $a$ $n +1$ -ю с конца цифру этого числа. Нетрудно видеть, что десятичная запись $n 2kmn⋅10$ оканчивается на $n$ нулей, перед которыми идет последняя цифра числа $2k$ (так как $mn$ оканчивается на единицу). Десятичная же запись слагаемого $2 2n k ⋅10$ оканчивается на $2n$ нулей.

Имеем, что последние $n$ цифр десятичной записи чисел $2 pk$ совпадают с последними $n$ цифрами десятичной записи числа $2 mn$ . При этом $n +1$ -я с конца цифра числа $2 pk$ совпадает с последней цифрой суммы $a+ 2k$ . Если $a$ нечётно, то для некоторого $k$ сумма $a+ 2k$ оканчивается на единицу (помним, что $k∈ {0,...9}$ . Если $a$ чётно, то для некоторого k сумма $a +2k$ оканчивается на двойку. Следовательно, одно из чисел $pk$ можно взять в качестве числа $mn+1$ .

Итак, мы получили числа, которые заканчиваются на какую-то комбинацию из единиц и двоек. Более того, мы даже знаем, что последняя цифра всегда будет единицей.

Пусть $cn =1◟..◝◜.1◞⋅104n n$ и $dn =cn+ 104n$ . Тогда в силу $√-- cn,dn < 105n =⇒ cn <103n$ получаем

∘ -- -- 4n 4n dn− √ cn = √dn−-c√n-= √-10-√-> 210⋅103n > 1 dn+ cn dn+ cn

Следовательно, найдётся такое натуральное число $qn$ , которое не меньше $√cn$ , но меньше $√dn-$ . Тогда десятичная запись квадрата этого числа начинается на $n$ единиц.

Рассмотрим число $qn ⋅10ℓ+ mn$ , где $ℓ$ больше количества цифр в десятичных записях чисел $2pkmn$ и $m2n$ . Тогда первые $n$ цифр десятичной записи числа

(q ⋅10ℓ+ m )2 = q2⋅102ℓ+ 2q10ℓ⋅m +m2 n n n n n n

совпадают с первыми $n$ цифрами десятичной записи числа $q2n$ , а последние $n$ цифр — с последними цифрами десятичной записи числа $m2n$ . Следовательно, число $qn ⋅10ℓ+ mn$ удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

что и требовалось доказать

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#91096Максимум баллов за задание: 7

Натуральные числа от $1$ до $2014$ как-то разбили на пары, числа в каждой из пар сложили, а полученные $1007$ сумм перемножили. Мог ли результат оказаться квадратом натурального числа?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы понять, стоит ли придумывать пример, или доказывать, что не мог, попробуйте придумать примеры для меньшего количества чисел.

Подсказка 2

Например, можно большинство чисел разбить на чётное количество пар равной суммой.

Показать ответ и решение

Разбив числа от $7$ до $2014$ на пары

7,2014,8,2013,...,1010,1011

получим чётное число пар с суммой $2021.$ Числа от $1$ до $6$ можно разбить так: $1,5,2,4,3,6.$ Для них в результате получим произведение $62 ⋅9 =182.$ Значит, в итоге получится полный квадрат.

Ответ:

да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#91093Максимум баллов за задание: 7

Ваня записал несколько простых чисел, использовав ровно по одному разу все цифры от $1$ до $9.$ Сумма этих простых чисел оказалась равной $225.$ Можно ли, использовав ровно по одному разу те же цифры, записать несколько простых чисел так, чтобы их сумма оказалась меньше?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У вас есть конкретный набор цифр. Попробуйте понять, какие у вас могут быть простые числа, какие на них могут быть ограничения?

Подсказка 2

Давайте посмотрим, например, на цифру 4. Она явно не может быть на первом месте в простом числе. Подумайте в эту сторону и с остальными цифрами.

Показать ответ и решение

Например,

207 =2+ 3+ 5+ 41+67+ 89=

= 2+ 3+ 5+47+ 61+ 89 =2 +5+ 7+ 43+61+ 89

Ответ:

да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#92992Максимум баллов за задание: 7

Что больше: $20112011+ 20092009$ или $20112009 +20092011?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неравенства a > b и a - b > 0 эквивалентны. Попробуем вместо сравнения исходных чисел сравнить их разность с нулем. Как можно преобразовать разность, чтобы было удобно ее оценивать?

Подсказка 2

Конечно! Перегруппируем слагаемые так, чтобы получилась разность двух скобок, внутри каждой у степеней одинаковое основание, а затем вынесем общий множитель. Как теперь сравнить числа?

Подсказка 3

Верно! Используем, что 2011 > 2009 и докажем, что в разности какое-то из чисел больше.

Показать ответ и решение

Запишем разность двух чисел, которые хотим сравнить, и преобразуем её:

2011 2009 2011 2009 2011 + 2009 − (2009 + 2011 )=

2011 2009 2011 2009 = 2011 − 2011 − (2009 − 2009 )=

= 20112009(20112− 1)− 20092009(20092− 1)

Заметим, что $20112009 > 20092009 >0$ и $20112− 1 >20092− 1 >0.$ Следовательно, уменьшаемое больше вычитаемого, то есть разность положительна. Значит, первое число больше, будет знак $> .$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#73199Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее натуральное $n,$ для которого число $nn$ не является делителем числа $2008!$

Источники: ММО-2008, 11.2(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно ли ограничить n снизу, пользуясь определённой его степенью?

Подсказка 2

Заметим, что если n² ≤ 2008, то 2008! делится на nⁿ. Попробуйте оценить число 2008 через квадраты.

Подсказка 3

44² < 2008 < 45², какие n тогда можно рассматривать?

Подсказка 4

Нам будет достаточно проверять делимость 2008! на nⁿ при n > 45.

Показать ответ и решение

Если $n2 ≤2008,$ то $2008!$ делится на $nn$ (так как числа $n,2n,...,(n − 1)n$ и $n2$ содержатся среди чисел $1,2,...,2007,2008$ ). Так как $2 2 44 < 2008 <45 ,$ то достаточно проверить делимость $2008!$ на $n n$ при $n >45.$

Ясно, что $2008!$ делится на $45 45 90 45 =5 ⋅3 ,$ так как среди чисел $1,2,...,2007,2008$ заведомо найдётся $45$ чисел, кратных $5,$ и $90$ чисел, кратных $3$ ( $5⋅45= 22< 2008$ и $3⋅90= 270<2008$ ).

$2008!$ делится на $46 46 46 46 = 2 23 ,$ так как среди чисел $1,2,...,2007,2008$ заведомо найдётся $46$ чётных чисел и $46$ чисел, кратных $23$ ( $23⋅46= 1058< 2008$ ).

$2008!$ не делится на $47 47 ,$ так как число $47$ простое, и поэтому среди чисел $1,2,...,2007,2008$ есть лишь $42$ числа, кратных $47$ ( $47⋅42 =1974< 2008 <2021= 43 ⋅47$ ).

Ответ:

$47$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#38870Максимум баллов за задание: 7

Чему может быть равно произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на $1?$ Найдите все возможные значения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Давайте попробуем восстанавливать наши множители с самого начала. Важное свойство почти всех простых чисел - нечетность. Значит перемножение будет делиться на двойку!

Подсказка 2!

2) Итак, поняли, что одно из простых чисел это 2. Попробуем понять, что тогда может быть следующим по возрастанию множителем в числе. Пусть это p2. Тогда раз наше число делится на p2-1, чему может быть равно p2?

Подсказка 3!

3) Верно, p2-1 может быть только двойкой, тогда p2 это 3! Теперь попробуйте таким же раскручиванием цепочки довести ее до конца, до момента, когда все множители, которые могут получиться, будут составными!

Показать ответ и решение

Хотя бы одно из простых чисел нечётно, потому число кратно двум. Пусть это $N =p ⋅...⋅p ,p <p ,i∈ {1,...k− 1}, 1 k i i+1$ где $p =2. 1$ Далее будем находить числа по порядку

Число содержит $p2,$ делителем $p2− 1$ может быть только $2,$ поскольку остальные делители больше $p2− 1,$ откуда оно равно $2$ и $p2 = 3.$ Подойдёт $N = 6,$ пойдём дальше.

Число содержит $p3,$ делителями $p3− 1$ могут быть только $p1,p2,$ но оба они меньше $p3− 1,$ потому $p1⋅p2 = 6 ⇐⇒ p3 =7.$ Подойдёт $N =2 ⋅3 ⋅7 =42.$

Число содержит $p4,p4 − 1$ может быть равно только $p1p3 = 14,p1p2p3 = 42,$ поскольку $p1p2 <p3.$ В первом случае $15= 14+ 1$ составное, во втором $p4 = 43$ и подходит $N = 2⋅3⋅7⋅43 =1806.$

Пусть теперь число содержит $p5,$ отсюда $p5 − 1$ равно одному из чисел $p1p4 =86,p1p2p4 = 258,p1p3p4 = 602,p1p2p3p4 = 1806,$ где все числа, увеличенные на один, будут составными, откуда больше четырёх простых чисел быть не может.

Ответ:

$6,42,1806$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#88923Максимум баллов за задание: 7

Квадрат суммы цифр числа $A$ равен сумме цифр числа $A2.$ Найдите все такие двузначные числа $A.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы работаем с суммами цифр. Попробуйте определить их отношения для некоторых чисел.

Подсказка 2

Заметим, что если S(n) — сумма цифр числа n, то выполняется S(x + y) ≤ S(x) + S(y).

Подсказка 3

Пусть A = (ab) = 10a + b, оценим сумму цифр его квадрата.

Подсказка 4

Как можно оценить S(10ⁿa) и S(n)?

Подсказка 5

S(10ⁿa) = S(a), S(n) = S(1 + ... + 1) < n.

Показать ответ и решение

Несложно понять через сложение в столбик, что для суммы цифр $S(n)$ выполняется следующее неравенство $S(x+y)≤ S(x)+S(y).$ Пусть $-- A = ab,$ тогда

2 2 2 2 2 2 S(A )=S ((10a +b))= S(100a + 20ab+ b )≤S(100a )+ S(20ab)+S(b)

Нетрудно понять, что $S(10na)=S(a)$ и $S(n)= S(1+ 1+...+1)≤ n.$ Следовательно,

2 2 2 2 2 2 2 2 S (100a)+ S(20ab)+S(b) =S(a )+S(2ab)+ S(b)≤ a +2ab+ b =(a+ b)= S(A)

Значит, во всех выписанных неравенствах должно достигаться равенство. Заметим, что равенство $S (n)= n$ реализуется лишь при однозначном $n$ (в этом можно убедиться, если записать $n$ в развёрнутой форме и сравнить её с суммой цифр). Таким образом, числа $a2,2ab,b2$ должны быть однозначными. То есть $1≤a ≤3,0≤ b≤ 3,ab≤ 4.$ Отсюда получаем все перечисленные в ответе варианты.

Ответ:

$10,11,12,20,21,22,30,31$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#68247Максимум баллов за задание: 7

Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа $a,b,c,d,$ для которых числа $a2+ 2cd +b2$ и $c2 +2ab+d2$ являются полными квадратами.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что оба наших выражения очень уж похожи на квадрат суммы. Вот только попарные произведения отличается. Вот если бы в первом выражении было не cd , а ab, то наше выражение свернулось бы в полный квадрат. И наоборот, если во втором выражении было бы не ab, а cd, то второе выражение свернулось бы в полный квадрат. Но, к сожалению, «реальность полна разочарований», вот только если не «мы сами определяем реальность». Нам же дали свободу выбора a,b,c,d. Может, можно исправить нашу проблему?

Подсказка 2

Да, действительно, если мы возьмем такие числа, что ab=cd, то оба выражения свернутся в полный квадрат, и это как раз то, что нам нужно. Значит, остаётся подобрать такие различные числа a,b,c,d, что ab=cd. Но это сделать совсем просто!

Показать ответ и решение

Достаточно найти такие $a,b,c$ и $d,$ что $cd =ab,$ тогда оба выражения свернутся в полный квадрат. Например, можно взять $a =1,b= 6,c= 2,d= 3.$

Ответ: (1, 6, 2, 3)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#81751Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары целых чисел $(x,y),$ для которых числа $x3 +y$ и $x+ y3$ делятся на $x2+ y2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Попробуйте обозначить НОД x и y через d и что-то про него понять.

Подсказка 2:

Итак, у вас должно было получиться, что x и y взаимно просты. Теперь давайте осознаем, что любая линейная комбинация чисел x³ + y и x² + y² или x + y³ и x² + y² будет делиться на x² + y². Попробуйте взять какую-нибудь удобным комбинацию, которая даст интересную делимость.

Показать ответ и решение

Пусть $d =$ НОД $(x,y).$ Тогда $x= du, y = dv,$ где $u$ и $v$ взаимно просты. По условию $d3u3+ dv$ делится на $d2,$ поэтому $v$ делится на $d.$ Аналогично $u$ делится на $d.$ Значит, $d= 1,$ то есть $x$ и $y$ взаимно просты. Тогда и число $2 2 x + y$ взаимно просто с $y.$ Число $( 2 2) (3 ) x x +y − x +y = y(xy − 1)$ делится на $2 2 x + y.$ Поскольку $2 2 x + y$ и $y$ взаимно просты, то $xy− 1$ делится на $2 2 x + y .$ Но это возможно только при $|xy|≤ 1.$ Действительно, в противном случае $2 2 0 <|xy− 1|< 2|xy|≤x + y .$ Непосредственная проверка всех оставшихся вариантов $(x,y =0,±1)$ дает восемь решений $(±1,±1),(0,±1),(±1,0).$

Ответ:

$(1,1), (1,0), (1,−1), (0,1), (0,−1), (−1,1), (−1,0), (−1,−1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#30986Максимум баллов за задание: 7

Является ли число $49+610+ 320$ простым?

Источники: ММО-1998, 9.1, (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если у нас спрашивают, является ли число простым, хорошим первым шагом будет попытка пойти от противного и попробовать разложить его на множители. Думаем, как можно было бы разложить эту сумму на множители. Может быть, это выражение похоже на какую-то извествую вам формулу сокращенного умножения?

Показать ответ и решение

Докажем, что оно является полным квадратом большего единицы числа:

9 10 20 2 9 9 10 20 9 10 2 4 + 6 +3 = (2 ) +2⋅2 3 +3 = (2 + 3 )

Ответ:

нет

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#81757Максимум баллов за задание: 7

Решите в натуральных числах уравнение

x y z 3 +4 = 5 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте посмотреть на остатки от деления.

Подсказка 2

У выражения в правой части остаток от деления на 3 должен совпадать с остатком от деления на 3 левой части, каким тогда будет z?

Подсказка 3

z должно быть четным, чтобы остаток от деления на 3 равнялся единице. На какие ещё остатки можно посмотреть?

Подсказка 4

Из-за совпадения остатков по модулю 4, x тоже будет чётным.

Подсказка 5

Преобразуйте равенство 4ʸ = 5ᶻ - 3ˣ.

Подсказка 6

4ʸ = 2²ʸ, а z и x — четные. Какой вывод можно сделать?

Подсказка 7

Получится, что 2²ʸ = (5ᵘ - 3ᵛ)(5ᵘ + 3ᵛ), где z = 2u, x = 2v. Тогда скобки справа являются степенями двойки.

Подсказка 8

Выразите 5ᵘ и 3ᵛ.

Показать ответ и решение

Правая часть при делении на $3$ должна давать тот же остаток, что и левая, то есть $1.$ Поэтому $z$ чётно. Аналогично, левая часть делится на $4$ с остатком $1,$ поэтому $x$ тоже чётно. Итак,

y z x 2u 2v 2y u v u v 4 = 5 − 3 =5 − 3 ,то есть 2 =(5 − 3)(5 + 3)

Обе скобки справа являются степенями двойки. Пусть $5u− 3v =2k$ и $5u+ 3v = 2l,$ где $k,l≥0$ и $k+ l= 2y.$ Тогда,

u 1 ( k l) v 1 (l k) 5 =2 2 +2 , 3 = 2 2− 2

Отсюда $l>k ≥0.$ Значит, $l 2$ делится на $4.$ Тогда $k 2$ четное, но не делится на $4,$ поскольку $v 3$ нечетное целое число. Таким образом $k k =1, 2 = 2$ и $v l−1 3 = 2 − 1.$ Поскольку $k+l= 1+ l$ четное число, $l− 1$ тоже чётно, $l− 1= 2s.$ Тогда

3v = (2s− 1)(2s+ 1)

– произведение двух чисел, отличающихся на $2$ и являющихся степенями тройки. Следовательно, эти множители это $1$ и $3.$ Значит, $s= 1, l= 3, 2y = 4.$

Ответ:

$(2,2,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#61458Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что если в числе $12008$ между нулями вставить любое количество троек, то получится число, делящееся на $19.$

Источники: ММО-1995, 9.1, (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим число вообще без троек, оно подходит. Если добавить тройку, будет ли оно также подходить? А если еще тройку?

Подсказка 2

Попробуем доказать, что, дописывая тройку, мы сохраняем делимость на 19. На что стоит посмотреть, когда рассматриваем два числа, которые должны делиться оба на какое-то простое p?

Подсказка 3

Да, на их разность, которая тоже делится на p. Осталось эту делимость доказать и вуаля - задача решена!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Докажем утверждение методом математической индукции.

База индукции: $12008$ делится на $19$ . Действительно, $12008= 19⋅632$ .

Шаг индукции: покажем, что если число указанного вида делится на $19$ , то и следующее за ним делится на $19.$

Для этого достаточно доказать, что разность двух соседних чисел делится на $19.$ В самом деле:

120k3..тр.о.ек.308− 120k3−.1..т.р..ой.к.3а08= (1203− 120)⋅10k+1.

Эта разность делится на $19$ , так как $1203− 120= 1083= 19 ⋅57.$

Второе решение.

Вставим произвольное число троек, получим $n= 1203...308$ , умножим это число на $3$ , получится $3609...924$ . Нам требуется доказать, что это число кратно $19$ (умножение на $3$ на это свойство никак не влияет).

Добавим к полученному числу $95= 19⋅5$ (очевидно, что на делимость это тоже не влияет), имеем $3610...019= 361 ⋅10k+2+ 19$ , которое кратно $19$ ( $361= 192$ ).

Ответ:

что и требовалось доказать

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#31223Максимум баллов за задание: 7

Ученик не заметил знака умножения между двумя семизначными числами и написал одно четырнадцатизначное число, которое оказалось в три раза больше их произведения. Найдите эти числа.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть даны числа n и m. В силу условия следует равенство m*10^7+n=3mn(так как числа семизначные). Чему кратно n и как это можно использовать?

Подсказка 2

Действительно, n кратно m. Значит мы можем записать n=mk и подставить в исходное равенство. Что можно сказать про k и n в таком случае(учитывая что числа m и n имеют одинаковое кол-во знаков)?

Подсказка 3

Да, мы можем сказать, что k<10 (так как числа имеют одинаковое кол-во знаков). Но также можно сказать, что 10⁷<3n<10⁷+10, откуда 3333334<=n<=3333336. Как теперь можно улучшить оценку на k?

Подсказка 4

В силу того, что m ≥ 10⁷, n/m<4, а значит k<4, а значит k<=3. Осталось учесть тот факт, что 10⁷+k кратно 3, и получить ответ!

Показать ответ и решение

Пусть на доске было написаны семизначные числа $m,n$ в виде $m⋅n.$ После того, как ученик стёр знак умножения, получилось число, равное $7 m ⋅10 + n.$ По условию имеем $7 m ⋅10 +n =3mn$

Первое решение.

Так как $7 7 n =3mn − m ⋅10 = m⋅(3n− 10 ),$ то $n= km$ при некотором $k ∈ℕ$ и $7 7 km = m(3km− 10) ⇐ ⇒ 10 = k(3m − 1).$

Число $m$ семизначное, поэтому $m ≥ 1000000$ , тогда $6 3m − 1≥ 3⋅10 − 1$ . Если $k ≥4$ , то получаем $7 6 6 10 =k(3m− 1)≥ 4⋅(3⋅10 − 1)> 10⋅10$ противоречие.

При $k= 1$ имеем $7 3m − 1= 10 =9999999+ 1$ противоречие с тем, что в уравнении $3(m − 3333333)= 2$ левая часть делится на $3$ , а правая не делится.

При $k= 2$ имеем $6 3m − 1= 5⋅10 ⇐ ⇒ m = 1666667$ , откуда $n =mk = 3333334$ .

При $k= 3$ имеем $3(3m − 1)= 107 =9999999+ 1$ противоречие с делимостью на $3$ .

Второе решение.

Так как $n =3mn − m ⋅107 = m⋅(3n− 107),$ то $n= km$ при некотором $k ∈ℕ$ и $km = m(3n− 107) ⇐⇒ 3n= 107+k.$

Как отношение семизначных чисел $0 <k <10$ , поэтому $107+ 0< 3n< 107 +10$ . Следовательно, $333333313 < n< 333333623$ . Значит, $k <4$ , то есть $107+ 1≤3n ≤107+ 3$ . Лишь одно число в этом интервале делится на $3 :$ это $107+ 2$ . Поэтому $n =3333334,m =1666667$ .

Ответ:

$1666667,3333334$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#82706Максимум баллов за задание: 7

Ученик не заметил знак умножения между двумя трёхзначными натуральными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть x и y — исходные трёхзначные числа. Как тогда можно переформулировать условие задачи?

Подсказка 2

y — трёхзначное, как слева к нему "приписать" x через сложение?

Подсказка 3

Представьте полученное число как 1000x + y. Тогда оно равно 7xy.

Подсказка 4

Что можно сказать про делимость y?

Подсказка 5

1000x + y = 7xy, 1000x кратно x, тогда и y кратно x. Какую замену можно сделать?

Подсказка 6

Пусть y = kx.

Подсказка 7

Заметим, что если k ≥ 10 y не является трёхзначным числом.

Подсказка 8

Подумайте о делимости на 7.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ и $y$ — исходные трехзначные числа. Число, составленное из них, равно $xy.$ Тогда из условия имеем уравнение

-- 7xy = xy

Так как $x$ и $y$ трехзначные числа, то $xy = 1000x+ y.$ С учетом этого наше уравнение принимает вид

7xy =1000x+y

Это уравнение в целых числах. Так как $.. 7xy. x$ и $.. 1000x . x,$ то и $.. y. x.$ Пусть тогда $y = kx.$ После подстановки уравнение примет вид

7xkx =1000x+kx

Разделим уравнение на $x$

7kx= 1000+ k

Ясно, что $1 ≤k≤ 9,$ так как при $k ≥10$ получаем $y = kx≥ 10x≥ 104,$ но это противоречит условию о том, что число $y$ — трехзначное.

Так как $7kx ... 7,$ то $1000+k ... 7.$ Так как $1001$ — первое число, большее или равное $1000,$ делящееся на $7.$ Тогда $k$ имеет остаток $1$ при делении на $7.$ Таким образом, $k= 1$ или $k= 8.$

При $k= 1$ уравнение имеет вид $7x= 1001,$ откуда $x= 143.$ Так как $y =kx,$ то $y =143.$
При $k= 8$ уравнение имеет вид $56x= 1008,$ откуда $x= 18.$ Но $x$ — трехзначное число. Противоречие

Ответ:

$143$ и $143$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#30981Максимум баллов за задание: 7

Известно, что число $n$ является суммой квадратов трёх натуральных чисел. Докажите, что число $n2$ тоже является суммой квадратов трёх натуральных чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Самый главный вопрос - как нам так разложить n²! Давайте запишем его как (a²+b²+c²)² и раскроем скобки! Получившиеся слагаемые необходимо сгруппировать в три квадрата.

Подсказка 2

Заметим, что a⁴, b⁴, c⁴ получились тогда из одного из этих квадратов. Но это не мог быть (a²+b²+c²)² , значит попробуем (a²+b²-c²)². Тогда посмотрите, какие слагаемые еще останутся, если часть мы сгруппируем в такой квадрат, и попробуйте остальное тоже разложить как квадраты!

Показать доказательство

Сделаем обозначения по условию: $n =a2+ b2+ c2,a≥ b≥c.$ Если мы упорядочим так переменные, то натуральным будет число $2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b − c ≥ 2b− c > b− c ≥ 0 =⇒ a + b − c ≥ 1.$ Попробуем собрать его квадрат с ещё двумя другими натуральными:

2 ( 2 2 2)2 4 4 4 2 2 22 22 n = a +b + c = a + b+ c + 2a b +2b c +2a c =

(4 4 4 22 22 2 2) 22 22 = a +b + c+ 2a b− 2bc − 2ac +4b c +4a c =

(2 2 2)2 2 2 = a + b − c +(2bc) + (2ac)

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Если число $n$ является суммой квадратов двух натуральных чисел, то число $n2$ уже не обязательно является суммой квадратов двух натуральных чисел, например,

2 2 2 (1 + 1) = 4= 1+ 3=2 +2,

несмотря на справедливость схожего с решением по виду тождества

(a2+b2)2 =(a2− b2)2+ (2ab)2

Замечание.

В виде суммы четырёх квадратов целых чисел можно представить уже любое натуральное число. Это одна из теорем Лагранжа.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#81743Максимум баллов за задание: 7

Из первых $k$ простых чисел $2,3,5,...,p k$ $(k> 5)$ составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например, $3⋅5, 3⋅7⋅...⋅pk, 11$ и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через $S.$ Доказать, что $S+ 1$ разлагается в произведение более $2k$ простых сомножителей.

Показать доказательство

Ясно, что $S+ 1= (2+1)(3 +1)...(p +1). k$ Сумма в каждой скобке, кроме первой, чётна, поэтому она разлагается по крайней мере на два простых множителя. Несложные вычисления показывают, что при $k= 5$ число $S+ 1$ разлагается в произведение $11$ простых множителей. Поэтому при $k >5$ число множителей не меньше чем $11+2(k− 5) >2k.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#81747Максимум баллов за задание: 7

В десятичной записи целого числа $A$ все цифры, кроме первой и последней, нули, первая и последняя – не нули, число цифр – не меньше трёх. Доказать, что $A$ не является точным квадратом.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пойдем от противного: предположим, что А является точным квадратом.

Подсказка 2

Что можно сказать о последней цифре А?

Подсказка 3

Докажите, что А может оканчиваться только на 1, 4 или 9.

Подсказка 4

Рассмотрите квадратный корень последней цифры А.

Подсказка 5

Давайте его просто выкинем: будем рассматривать число A - x², где x — квадратный корень последней цифры А.

Подсказка 6

Пусть k — количество нулей в A - x². Что можно сказать о делимости на 5?

Подсказка 7

x не делится на 5, что тогда можно сказать о множителях A - x²?

Подсказка 8

Вспомните формулу разности квадратов.

Подсказка 9

Попробуйте найти противоречие с (k+1)-значностью A.

Показать доказательство

Предположим, что $A$ точный квадрат. Тогда его последняя цифра будет $1,4,5,6$ или $9.$ Но точный квадрат не может оканчиваться ни на $05,$ ни на $06$ – например, потому что число, оканчивающееся на $05,$ дает остаток $5$ при делении на $25,$ а число, оканчивающееся на $06,$ дает остаток $2$ при делении на $4.$

Следовательно, число $A$ оканчивается на одну из цифр $1,4,9.$ Обозначим через $x$ квадратный корень из последней цифры числа $A.$ Пусть $k$ – число нулей в числе $2 A − x .$ (Можно считать, что $k >2.$ ) Так как число $x$ не делится на $5,$ то ровно одно из чисел $√ -- √-- A− x, A + x$ делится на $5,$ а значит, и на $k 5 .$ Следовательно, одно из этих чисел не меньше $k 5,$ а другое не меньше $k 5 − 6$ (ведь $x ≤3$ ). Значит, произведение этих чисел не меньше, чем $k (k ) k k k 5 5 − 6 > 5 ⋅9 ⋅2 =9⋅10 ,$ что противоречит $(k+ 1)$ -значности числа $A.$ Итак, число $A$ не может быть точным квадратом.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#88126Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что количество делителей натурального числа $n$ не превосходит $2√n.$

Источники: ММО - 1960, задача 7.5

Показать доказательство

Если $d$ — делитель числа $n,$ то $n d$ — тоже делитель числа $n.$ Хотя бы одно из этих двух чисел не превосходит $√n.$ Поэтому число делителей не превосходит $√- 2 n.$