Стереометрия на ММО

Подсказка 1.

Самый простой способ доказать, что несколько прямых пересекаются в одной точке - определить эту точку, а затем доказать, что все прямые через неё проходят. Попробуйте доказать, что данные прямые проходят через центр описанной сферы тетраэдра(точку O).

Подсказка 2.

Просто так работать с этим объектом не получается. Попробуем воспользоваться равенством скрещивающихся рёбер ABCD. Проведём через каждые пары скрещивающихся рёбер параллельные плоскости. Тогда какую фигуру мы получаем в качестве пересечения этих плоскостей?

Подсказка 3.

Да, верно! Это же прямоугольный параллелепипед! Тогда точка O является его центром(пусть A',B',C',D' - точки, симметричные A,B,C,D относительно O). Отметим точку пересечения медиан треугольника BCD (точка M). Попробуйте разложить векторы AM и AA' через векторы A'B,A'C,A'D.

Подсказка 4.

Мы получаем, что точка M лежит на AA' и A'M/AM = 1/2, то есть AO/OM = 3/1. Отлично! Теперь осталось доказать, что перпендикуляр, опущенный из O на BCD, проходит через середину AH(где H - ортоцентр треугольника BCD). Для этого рассмотрим проекцию на BCD(пусть A" - проекция A, O1 - проекция O). Мы знаем, что проекция прямой AM проходит через точку пересечения медиан и центр описанной окружности. Что же это тогда за прямая?

Подсказка 5.

Да это же прямая Эйлера! А значит, она проходит и через ортоцентр треугольника BCD. Теперь, используя, что MH = 2MO1, попробуйте получить отношение отрезков A"O1 и O1H.

Подсказка 6.

Отлично! Мы знаем, что A"O1 = O1H. Тогда что можно сказать про отношение отрезков, на которые разбивается AH прямой OO1?