Стереометрия на ММО

Подсказка 1.

Самый простой способ доказать, что несколько прямых пересекаются в одной точке - определить эту точку, а затем доказать, что все прямые через неё проходят. Попробуйте доказать, что данные прямые проходят через центр описанной сферы тетраэдра(точку O).

Подсказка 2.

Просто так работать с этим объектом не получается. Попробуем воспользоваться равенством скрещивающихся рёбер ABCD. Проведём через каждые пары скрещивающихся рёбер параллельные плоскости. Тогда какую фигуру мы получаем в качестве пересечения этих плоскостей?

Подсказка 3.

Да, верно! Это же прямоугольный параллелепипед! Тогда точка O является его центром(пусть A',B',C',D' - точки, симметричные A,B,C,D относительно O). Отметим точку пересечения медиан треугольника BCD (точка M). Попробуйте разложить векторы AM и AA' через векторы A'B,A'C,A'D.

Подсказка 4.

Мы получаем, что точка M лежит на AA' и A'M/AM = 1/2, то есть AO/OM = 3/1. Отлично! Теперь осталось доказать, что перпендикуляр, опущенный из O на BCD, проходит через середину AH(где H - ортоцентр треугольника BCD). Для этого рассмотрим проекцию на BCD(пусть A" - проекция A, O1 - проекция O). Мы знаем, что проекция прямой AM проходит через точку пересечения медиан и центр описанной окружности. Что же это тогда за прямая?

Подсказка 5.

Да это же прямая Эйлера! А значит, она проходит и через ортоцентр треугольника BCD. Теперь, используя, что MH = 2MO1, попробуйте получить отношение отрезков A"O1 и O1H.

Подсказка 6.

Отлично! Мы знаем, что A"O1 = O1H. Тогда что можно сказать про отношение отрезков, на которые разбивается AH прямой OO1?

Подсказка 1

Попробуем разобраться в этом тетраэдре. Мы знаем, что середина каждой высоты лежит на вписанной сфере. Какое неравенство, связанное с высотой и радиусом вписанной сферы, мы можем получить?

Подсказка 2

Если Hi- длина произвольной высоты тетраэдра, то Hi/2<=2r, где r- радиус вписанной сферы. Это можно увидеть, если провести плоскость, параллельную плоскости основания высоты и касающуюся вписанной сферы. Что же может дать нам это неравенство? Полезно было бы вспомнить о том, что Hi и r связаны объёмом тетраэдра...

Подсказка 3

Обозначим за Si- площадь произвольной боковой грани. Тогда: 3*V=Hi*Si=r*(S1+S2+S3+S4), где V- объем тетраэдра. Попробуйте теперь воспользоваться неравенством Hi/2<=2r...

Подсказка 4

Подставив неравенство в равенство, мы получим, что: r*(S1+S2+S3+S4)<=4*r*Si. Сократим обе части на 4*r: (S1+S2+S3+S4)/4<=Si. Получается, что произвольно выбранная площадь не меньше среднего арифметического всех площадей. Это как-то странно...

Подсказка 5

Давайте предположим, что Si не больше всех оставшихся площадей. Тогда: Si=(Si+Si+Si+Si)/4<=(S1+S2+S3+S4)/4<=Si. Это означает, что все Si равны между собой. Тогда и все высоты равны между собой. Во что превращается неравенство Hi/2<=2r?

Подсказка 6

Положим, что S1=S2=S3=S4=S, а H1=H2=H3=H4=H. Т.к. H*S=r*(S1+S2+S3+S4) получаем, что H=4r. Но тогда высоты обязаны содержать центр вписанной окружности и точку касания с гранью. Может как-то выразить длины ребер через высоты...

Подсказка 7

Для определенности проведем высоту AH и будем искать ребро AB. По теореме о касательной и секущей получаю, что BH^2=H*H/2. Теперь осталось воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ABH и увидеть, как AB выражается через H.

Подсказка 1

В условии сказано, что пройдя расстояние, равное a, в определенную сторону, звездолет покинет полупространство. Каким образом мы можем описать все варианты той точки, где кончается полупространство?

Подсказка 2

Мы можем сказать, что если звездолет находится в какой-нибудь точке О, то на сфере с центром в точке O и радиусом a гарантированно найдется точка , которая уже не будет являться частью полупространства. Подумайте, как данная сфера может помочь в выборе траектории. Может быть, есть какая-то фигура, которую удобно будет описать около сферы?

Подсказка 3

Рассмотрите правильный октаэдр, описанный около данной сферы. Если мы докажем, что путь из центра октаэдра по всем вершинам без повторений меньше 14a и хотя бы одна вершина гарантировано не лежит в полупространстве, то мы решим задачу. Сначала подумайте, как можно сделать второе.

Подсказка 4

Воспользуемся методом от противного. Подумайте, где возникает противоречие, если мы скажем, что все вершины октаэдра лежат в данном полупространстве.

Подсказка 5

Теперь нужно найти длину пути от О и по всем вершинам. Давайте назовем наш октаэдр A₁A₂A₃A₄A₅A₆, тогда не трудно найти кратчайший маршрут обхода: O -> A₁ -> A₂ -> A₃ -> A₄ -> A₅ -> A₆. Как можно найти длину данного пути?

Подсказка 6

Для начала нужно найти длину отрезка OA₁, так как из него легко можно выразить длину ребра октаэдра. Мы знаем, что длина высоты, опущенной из точки О на грань октаэдра равна a, Тогда как мы можем найти длину OA₁?

Подсказка 7

Давайте рассмотрим пирамиду OA₁A₂A₃, найдем ее объем двумя разными способами, как 1/6 куба с ребром OA₁ и через длину высоты и площадь A₁A₂A₃. Из равенства двух данных выражений легко можно выразить OA₁. Для окончательного решения останется только найти длину ребра и доказать, что предложенный нами маршрут меньше 14a.

Подсказка 1!

Давайте попробуем сначала разобраться с простым случаем, чтобы нам было понятнее, что происходит. Есть точка в пространстве. И прямая в пространстве. И если расстояние от самой точки до прямой уже d, то какой был бы ответ?

Подсказка 2!

Верно, это была бы плоскость через точку, параллельная АВ. Так, а если расстояние от точки до плоскости меньше d?

Подсказка 3!

Хорошо, с этим тоже разобрались. Такого гмт бы не существовало. Давайте теперь посмотрим на сложный случай. Чтобы расстояние было равно d, попробуем построить одну такую прямую. Возьмем вокруг AB "оболочку" ширины d. получится такой цилиндр радиуса d. И вам нужна прямая, которая будет проходить через точку m, а еще касаться такого цилиндра(осознайте, почему?). Осталось немного, разобраться, как построить такое гмт!