Стереометрия на ММО

Пусть ребро исходного куба, из которого получился кубооктаэдр, равно 1. Рассмотрим сечения кубооктаэдра плоскостью, параллельной основанию куба, на расстоянии от основания. В сечении будут получаться восьмиугольники, все углы которых равны . Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть точки пересечения плоскости сечения с ребрами куба:

Найдем значение , при котором соседние стороны получающегося в сечении восьмиугольника равны, тогда он окажется правильным. Длина стороны, которая лежит в грани куба, находится из пропорции . Другая сторона — это гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника, длина которой равна . Поэтому достаточно потребовать, чтобы выполнялось равенство , то есть . Итак, правильный восьмиугольник в сечении получиться может.

Предположим, что в сечении кубооктаэдра некоторой плоскостью получился правильный -угольник и . Тогда вершины этого -угольника должны лежать на ребрах кубооктаэдра, причем одному ребру не может принадлежать более двух вершин -угольника. Рассмотрим сечение исходного куба, которое является правильным шестиугольником (на рисунке ниже закрашено серым), а также сечения, которые получаются из данного поворотом на и относительно вертикальной оси куба:

Заметим, что объединение сторон этих четырех правильных шестиугольников есть объединение всех ребер кубооктаэдра. Покажем, что на сторонах какого-то из четырех выбранных правильных шестиугольников лежит хотя бы 3 вершины -угольника. Действительно, если на сторонах каждого такого шестиугольника лежит не более двух вершин, то всего вершин будет не более восьми. Следовательно, плоскость сечения -угольника совпадает с плоскостью этого шестиугольника и в сечении кубооктаҝдра получается шестиугольник. Получаем противоречие.