Стереометрия на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Многогранник с вершинами в серединах рёбер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?
Источники:
Подсказка 1
Для начала мы хотим получить какой-то симметричный большой пример, и скорее всего наилучший пример и будет симметричным, поскольку вся картинка симметрична. В таком случае давайте подумаем, для какой плоскости нам было бы удобно считать длины всех сторон, да так, чтобы плоскость ещё как-то относительно симметрично располагалась, так как нам не хочется считать много сторон и решать большую систему уравнений (нужно будет так чутка подвигать плоскость, скорее всего, чтобы многоугольник был равносторонним, вряд ли мы сразу найдём идеальный пример). Какую тогда плоскость удобно было бы взять, в связи с рассуждениями выше?
Подсказка 2
Мы можем взять плоскость, которая параллельна одной их плоскостей куба, так как в сечении получается симметричный 8-угольник, у которого есть две четвёрки, в каждой из которых стороны попарно равны. При этом, когда у нас плоскость расположена на маленькой высоте, то стороны, не лежащие в плоскостях куба, очень большие, а когда поднимаем выше, уменьшаются. Во-первых, поймите до какого уровня мы можем поднимать, чтобы не начать дублировать случаи, а во-вторых, как нам сделать равными все стороны? От какого параметра зависят эти стороны?
Подсказка 3
Само собой, эти стороны зависят только от высоты, а значит, несколькими теоремами Пифагора мы можем понять, чему должна быть равна высота, чтобы получался равносторонний восьмиугольник. Большой пример есть. Теперь можно попробовать покрутить плоскость, попробовать придумать что-то более большое. А если не получится, то предполагать, что n > 8 и приходить к противоречию. А в чем может вообще заключаться противоречие? Если у нас есть некоторый n-угольник, который высекается плоскостью из кубооктаэдра, то если мы хотим прийти к противоречию с n, то нам было бы удобно подумать, где могут лежать его точки, потому что если мы найдём плоскость, в которой лежит много вершин нашего n-угольника, то скорее всего придём к противоречию.
Подсказка 4
Найти что-то большее не вышло, поэтому идём по пути, который был описан выше. Если есть сечение кубооктаэдра плоскостью, то вершины данного n-угольника лежат на рёбрах кубооктаэдра, при этом, на одном ребре не более двух точек. Если у нас есть > 8 точек, то нам было бы удобно найти 4 плоскости, которые содержат рёбра кубооктаэдра, ведь тогда по рассуждениям из предыдущей подсказки задача была бы решена. Посмотрите на картинку и поймите, какие 4 плоскости в объединении содержат все рёбра кубооктаэдра, если у нас его вершины идут по серединам сторон куба, а значит есть много паралельностей, а потому много рёбер, лежащих в одной плоскости.
Пусть ребро исходного куба, из которого получился кубооктаэдр, равно 1. Рассмотрим сечения кубооктаэдра плоскостью, параллельной
основанию куба, на расстоянии 
от основания. В сечении будут получаться восьмиугольники, все углы которых
равны 
. Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть точки пересечения плоскости сечения с ребрами
куба:
Найдем значение 
, при котором соседние стороны получающегося в сечении восьмиугольника равны, тогда он окажется правильным.
Длина 
стороны, которая лежит в грани куба, находится из пропорции 
. Другая сторона — это гипотенуза
прямоугольного равнобедренного треугольника, длина которой равна 
. Поэтому достаточно потребовать, чтобы
выполнялось равенство 
, то есть 
. Итак, правильный восьмиугольник в сечении получиться
может.
Предположим, что в сечении кубооктаэдра некоторой плоскостью 
получился правильный 
-угольник и 
. Тогда вершины этого
-угольника должны лежать на ребрах кубооктаэдра, причем одному ребру не может принадлежать более двух вершин
-угольника. Рассмотрим сечение исходного куба, которое является правильным шестиугольником (на рисунке ниже закрашено
серым), а также сечения, которые получаются из данного поворотом на 
и 
относительно вертикальной оси
куба:
Заметим, что объединение сторон этих четырех правильных шестиугольников есть объединение всех ребер кубооктаэдра. Покажем, что
на сторонах какого-то из четырех выбранных правильных шестиугольников лежит хотя бы 3 вершины 
-угольника. Действительно, если
на сторонах каждого такого шестиугольника лежит не более двух вершин, то всего вершин будет не более восьми. Следовательно, плоскость
сечения 
-угольника совпадает с плоскостью этого шестиугольника и в сечении кубооктаҝдра получается шестиугольник. Получаем
противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
