Стереометрия на ММО

Проведём через пару скрещивающихся рёбер тетраэдра две параллельные плоскости. Так же поступим для двух других пар скрещивающихся рёбер и получим параллелепипед. Диагонали его граней равны между собой, поэтому все грани — прямоугольники, и параллелепипед прямоугольный. Пусть — его центр, являющийся также центром описанной сферы тетраэдра Пусть также — точки, симметричные соответственно относительно точки Докажем, что все построенные прямые проходят через точку

Пусть — центр масс треугольника . Тогда

То есть точка лежит на диагонали и делит её в отношении , считая от вершины Аналогично центр масс треугольника лежит на этой диагонали и делит её в отношении , считая от вершины Точка — середина отрезка поэтому

Рассмотрим проекцию на плоскость — проекция точки , — проекция центра Точка совпадает с центром описанной сферы тетраэдра поэтому — центр описанной окружности треугольника

Тогда прямая проецируется в прямую Эйлера треугольника Пусть Тогда ( делит отрезок в отношении , это отношение сохраняется при проецировании). Кроме того, лежат на одной прямой и (прямая Эйлера), отсюда Следовательно, , а прямая , перпендикулярная плоскости , делит отрезок пополам, а значит, совпадает с прямой . Итак, все построенные прямые проходят через точку .

Рассмотрим тетраэдр удовлетворяющий условию задачи. Заметим, что по условию для любой высоты данного тетраэдра справедливо неравенство где — радиус вписанной сферы, то есть

Пусть — площадь грани, на которую опущена высота Докажем, что Предположим противное. Выберем грань минимальной площади (если таких граней несколько, то берём любую из них). Без нарушения общности можно считать, что её площадь равна (иначе можно ввести переобозначения). Так как не все равны между собой и - наименьшая из них, то

Выразим объём тетраэдра двумя способами:

Отсюда что противоречит неравенству

Итак, все равны, поэтому все равны, так как Обозначим за длину этих равных высот. Из приведённого выше соотношения для объёма получаем то есть неравенство обращается в равенство. Но это возможно только в случае, если высота содержит центр сферы и точку касания с гранью (и так для каждой высоты).

Пусть - основание высоты тетраэдра, опущенной из точки Тогда совпадает с точкой касания сферы и грани Пусть тогда по теореме о касательной и секущей По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника получаем

Аналогично получаем такое же выражение для остальных рёбер тетраэдра, следовательно, они равны между собой, то есть тетраэдр правильный.

Пусть корабль находится в некоторой точке Рассмотрим правильный октаэдр описанный возле шара радиуса с центром в точке Докажем, что путь заведомо позволит достигнуть граничной плоскости.

Предположим противное. Тогда вершины октаэдра, а значит, и сам октаэдр (выпуклая оболочка его вершин) лежат строго внутри полупространства. Поэтому вписанный шар октаэдра, радиус которого равен тоже лежит строго внутри полупространства. Получаем противоречие, так как по условию расстояние до граничной плоскости полупространства равно

Покажем теперь, что длина пути меньше Пусть — высота пирамиды Запишем ее объём двумя способами:

Отсюда получаем, что а длина ребра октаэдра равна Поэтому длина пути равна так как

Пусть ребро исходного куба, из которого получился кубооктаэдр, равно 1. Рассмотрим сечения кубооктаэдра плоскостью, параллельной основанию куба, на расстоянии от основания. В сечении будут получаться восьмиугольники, все углы которых равны . Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть точки пересечения плоскости сечения с ребрами куба:

Найдем значение , при котором соседние стороны получающегося в сечении восьмиугольника равны, тогда он окажется правильным. Длина стороны, которая лежит в грани куба, находится из пропорции . Другая сторона — это гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника, длина которой равна . Поэтому достаточно потребовать, чтобы выполнялось равенство , то есть . Итак, правильный восьмиугольник в сечении получиться может.

Предположим, что в сечении кубооктаэдра некоторой плоскостью получился правильный -угольник и . Тогда вершины этого -угольника должны лежать на ребрах кубооктаэдра, причем одному ребру не может принадлежать более двух вершин -угольника. Рассмотрим сечение исходного куба, которое является правильным шестиугольником (на рисунке ниже закрашено серым), а также сечения, которые получаются из данного поворотом на и относительно вертикальной оси куба:

Заметим, что объединение сторон этих четырех правильных шестиугольников есть объединение всех ребер кубооктаэдра. Покажем, что на сторонах какого-то из четырех выбранных правильных шестиугольников лежит хотя бы 3 вершины -угольника. Действительно, если на сторонах каждого такого шестиугольника лежит не более двух вершин, то всего вершин будет не более восьми. Следовательно, плоскость сечения -угольника совпадает с плоскостью этого шестиугольника и в сечении кубооктаҝдра получается шестиугольник. Получаем противоречие.

Если точка сама находится на расстоянии от , то подойдёт вся плоскость , (то есть любая прямая . Если расстояние , то таких прямых нет. Иначе это прямая, которая касается цилиндра с осью и проходит через . Чтобы задать такие прямые, построим касательную плоскость к цилиндру, которая содержит — в силу симметрии их будет две . В итоге нам подойдут все . Нетрудно видеть, что в случае равенства плоскости просто совпадают.