Планиметрия на Курчатове
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
– вписанный четырёхугольник, 
На сторонах 
и 
отмечены точки 
и 
так, что 
и
– середина 
Докажите, что угол 
– прямой.
Источники:
Подсказка 1
Так, точки X и Y в явном виде нам вряд-ли помогут, поскольку только с помощью этих точек мы не сможем определить ∠AMC. Тогда, давайте достроим картинку таким образом, чтобы MC и MA стали средними в треугольниках. Что для этого нужно сделать?
Подсказка 2
Да, нужно удвоить YC за точку C и XA за точку A! Для удобства обозначим точки, полученные после удвоения: Y’ и X’. Тогда, чтобы доказать, что ∠AMC прямой, достаточно доказать, что стороны треугольников, которые параллельны MC и MA – перпендикулярны! Отметим равны углы и стороны, можно ли найти на картинке равные треугольники?
Подсказка 3
Да, Y’CD и DAX равны! Заметим, что на картинке появилось два равнобедренных треугольника: XDY’ и X’DY. Тогда нам достаточно доказать, что угол между биссектрисами этих треугольников прямой! Осталось посчитать уголочки.
Удвоим 
за точку 
и 
за точку 
и получим 
и 
Тогда 
и 
— средние линии в треугольниках 
и
Значит, достаточно доказать, что 
и 
перпендикулярны.
Заметим, что 
и 
Отсюда треугольники 
и 
равны и треугольники
и 
равны.
Тогда получается, что 
и 
Это значит, что биссектрисы в треугольниках 
и 
также являются и
высотами. Мы хотим доказать, что 
и 
перпендикулярны. Это равносильно тому, чтобы перпендикуляры к этим прямым были
перпендикулярны, ведь угол между прямыми равен углу между перпендикулярами к ним.
Мы уже заметили, что биссектрисы в треугольниках 
и 
также являются высотами, так значит, нам нужно показать, что
угол между биссектрисами является прямым. Давайте его посчитаем:
Заметим, что 
поэтому посчитанный выше угол равен 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
