Планиметрия на Курчатове
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка 
внутри остроугольного треугольника 
такова, что 
Точка 
— середина стороны 
Прямая 
пересекает описанные окружности треугольников 
и 
в точках 
и 
соответственно (точка 
лежит между точками 
и 
точка 
лежит между точками 
и 
Оказалось, что 
Докажите, что
Источники:
Подсказка 1
У нас в задаче есть условие на углы и описанные окружности. Может, попробовать посчитать уголочки. Посмотрите, куда можно перекинуть уголочки ∠CAP и ∠BAP...
Подсказка 2
Т.к. DAPB- вписан ⇒ ∠PAB=∠PDB. Т.к. AEPC- вписан ⇒ ∠CAP=∠CEP. Но тогда ∠CEP=∠PDB. Это все, конечно, здорово, но мы пока не подобрались к отрезку BP. Нам нужно доказать, что BC=2BP. Это равносильно тому, что BP=BM. Т.е. нам надо доказать, что PBM- равнобедренный. Может, попробовать провести высоту BX и доказать, что PX=XM...
Подсказка 3
Мы еще не пользовались тем, что M- середина BC. Какое дополнительное построение сразу приходит в голову?
Подсказка 4
Конечно, удвоение медианы! Давайте удвоим XM: тогда получится точка Y, лежащая на прямой XM. Тогда т.к. BXCY-параллелограмм ⇒ ∠CYM=90° и CY=BX. Равны ли прямоугольные треугольники △DBX и △ECY?
Подсказка 5
Да! Т.к. CY=BX и ∠BDX=∠BDP=∠CEP=∠CEY. Но тогда DX=EY. Если мы докажем, что PX=MY, то мы победили. Вспомните, что DE=PM и доведите решение до конца!
Четырёхугольник 
— вписанный, поэтому 
Аналогично четырёхугольник 
— вписанный, поэтому
Опустим высоты 
и 
на прямую 
Заметим, что прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе
и острому углу 
, откуда получаем 
Заметим, что прямоугольные треугольники 
и 
равны по катету 
и острому углу 
откуда получаем 
Тогда
Получается, что 
Следовательно, в треугольнике 
высота 
совпадает с медианой, поэтому он является
равнобедренным, и 
что и требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
