Тема Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Тождественные преобразования на Всесибе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80746Максимум баллов за задание: 7

Пусть длины сторон треугольника являются натуральными числами $a,b,c$ , и одна из его высот равна сумме двух других. Доказать, что число $2 2 2 a + b+ c$ является точным квадратом (натурального числа).

Источники: Всесиб-2024, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно как-то записать условие на то, что одна высота равна сумме двух других. Через что тогда можно выразить высоту, чтобы равенство не хотелось сразу стереть из-за его громоздкого вида?

Подсказка 2

Верно, через площадь треугольника и сторону. Тогда наше равенство будет выглядеть как 2S/a = 2S/b + 2S/c => 1/a = 1/b + 1/c => bc = ab + ac. Если мы хотим сказать, что сумма квадратов сторон равна точному квадрату, то давайте подумаем какому конкретно квадрату это может быть равно(квадрат, который выражен через a,b,c).

Подсказка 3

Действительно, подходит квадрат (b + c - a)^2, ведь раскрывая скобки, мы получим, что a^2 + b^2 + c^2 + 2bc - 2ab - 2ac = a^2 + b^2 + c^2, так как bc = ab + ac. Что и требовалось доказать.

Показать доказательство

Пусть $S$ — площадь треугольника, а $h,h ,h a b c$ — высоты к сторонам $a,b,c$ соответственно.

Из формулы площади треугольника имеем, что

2S 2S 2S ha = a-,hb = b-,hc =-c

Без ограничения общности будем считать, что $ha = hb+hc$ . Тогда

1 1 1 a = b +c

Откуда $bc= ac+ ab$ . Но тогда $2bc= 2ac+2ab$ и можно сказать, что

a2+ b2 +c2 = a2+ b2+ c2+2bc− 2ac− 2ab= (b+ c− a)2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#136035Максимум баллов за задание: 7

Пусть $A = 44 ...44$ — натуральное число, записанное $2n$ четвёрками, и $B = 88...88$ — натуральное число, записанное $n$ восьмерками, где $n$ — произвольное натуральное число. Докажите, что число $A− B$ является точным квадратом натурального числа.

Источники: Всесиб - 2024, 10.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, разность каких-то больших чисел должна быть равна квадрату какого-то неизвестного числа... А что это за число? Вероятно, оно имеет какой-то общий вид для всех n.

Подсказка 2

Попробуйте рассмотреть искомую разность для маленьких n. Квадрат каких чисел получается?

Подсказка 3

Получается, что при n=1 A-B=6², при n=2 A-B=66². Хм, это совпадение, что получились квадраты чисел, состоящих из шестерок?

Подсказка 4

Попробуем доказать, что наша разность — это квадрат числа, состоящего из n шестёрок. Для этого надо как-нибудь преобразовать A-B...

Подсказка 5

На самом деле, и A, и B делятся на число 44...44, содержащее n четверок. Вынесите это число за скобку, останется только аккуратно сгруппировать множители!

Показать доказательство

Лемма.

1◟.. ◝.◜1 ◞= 1◟. ◝..◜1 ◞⋅1◟00◝..◜.01◞ 2n n n+1

Доказательство.

( ) 1◟-..◝◜.1◞⋅1◟00.◝.◜.01◞= 1◟. ◝.◜.1 ◞⋅(10◟0.◝.◜.00◞+1) = n n+1 n n+1

= 1◟. ◝.◜n.1 ◞0◟-..◝◜n.0◞+1◟..◝◜n.1◞=1◟-..◝2n.◜1 ◞

Заметим, что

A =4...4 =4 ⋅1...1= 4⋅1...1⋅100...01 ◟2◝◜n ◞ ◟ ◝◜2n ◞ ◟◝n◜◞ ◟ ◝n+◜1 ◞

При этом

B = 8◟⋅ ◝⋅◜⋅8 ◞ =2⋅4⋅1◟..◝◜.1◞ n n

Исходя из этого, преобразуем данную разность:

A− B =4◟⋅⋅◝◜⋅4◞− 8◟⋅⋅◝◜⋅8◞=4 ⋅1◟-..◝◜.1◞⋅1◟00.◝.◜.01◞−2 ⋅4 ⋅1◟-..◝◜.1◞= 2n n n n+1 n

( ) = 4⋅1◟.. ◝.◜1 ◞⋅(1◟00..◝◜.01◞−2) =4 ⋅1◟..◝◜.1◞⋅9◟..◝◜.9◞= n n+1 n n

2 2 2 = 4⋅1◟.. ◝n.◜1 ◞⋅9⋅1◟..◝◜n.1◞=6 ⋅1◟..◝◜n.1◞ =6◟..◝◜n.6◞

Итак, получается,

2 A− B =6◟..◝◜n.6◞

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#30989Максимум баллов за задание: 7

Найдите все действительные числа $a,$ для которых существуют три различных действительных числа $x,y,z,$ таких что

1 1 1 a= x+ y = y+ z =z+ x

Источники: Всесиб-2021, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тройное равенство вида a = f = g = h это на самом деле система a = f, f = g, g = h

Подсказка 2

У нас слишком много переменных. Давайте х, z выразим через a и y. Используем, что x = a - 1/y и z = a - 1/x.

Подсказка 3

А после этого вспоминаем, что a = y + 1/z. Подставляем сюда наше выражение на z - мы получили соотношение на a и y только. Попробуйте для удобства разложить его на множители.

Подсказка 4

Один из случаев невозможен в силу различности x,y,z. В другом случае должно получиться а=±1. Теперь осталось проверить различность решений при этих параметрах. Используйте выражения из предыдущих наработок (просто подставьте туда а=1, а=-1), и всё получится!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Из условия $1 1 x + y = y+ z$ получаем

y− z x − y =-zy--

Аналогично (в силу цикличности равенств) $y− z = z−zxx ,z− x= x−xyy .$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(x− y)(y− z)(z− x)= (x−-y)(y−-z)(2z−-x) (xyz)

С учётом того, что числа различные, получаем после сокращения на $(x− y)(y− z)(z− x)⁄= 0:$

(xyz)2 = 1 ⇐ ⇒ xyz = ±1

Из условия $a =x + 1y = y+ 1z$ получаем

a⋅a= (x + 1)⋅(y+ 1)= 1+ xy+ x+ 1-= 1+ x(y + 1+ -1-) y z z yz z xyz

a2− 1= x(a ±1)

Аналогично (в силу цикличности равенств) $a2 − 1= y(a±1),a2 − 1 =z(a± 1).$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(a2− 1)3 =±1 ⋅(a± 1)3

Этому равенству не могут удовлетворять значения $a,$ отличные от $± 1,$ поэтому других решений у задачи быть не может. Осталось проверить, подходят ли $a= 1,a= −1.$

При $a= 1$ существует удовлетворяющая условиям задачи тройка $1 (2,2,−1),$ а при $a =− 1$ можно взять $1 (−2,−2,1).$ Поэтому оба найденных значения параметра идут в ответ.

Второе решение.

Сначала постараемся избавиться от трёх неизвестных в одном выражении:

2 a =x + 1=⇒ x= a− 1 = ay− 1, z = a− 1= a−-y--= a-y−-y− a y y y x ay− 1 ay− 1

Наконец:

a= y+ 1= y+ --ay− 1--⇐⇒ a3y− ay− a2 =a2y2− y2 − ay+ ay− 1 z a2y− y − a

Получаем:

(a2− 1)(y2− ay+ 1)= 0

Тогда либо $a2 =1,$ либо $a= y+ 1y.$ Последнее невозможно, ведь по условию $a= x+ 1y$ и получаем $x= y$ — противоречие с условием.

Осталось проверить $a= ±1.$

Зафиксируем $y,$ тогда из ранее полученного

x = ay− 1 y

z = a2y−-y−-a=-−-a- ay− 1 ay− 1

1 1 a =y +z = y− y + a

Все три условия выполнены и можно предъявить конкретную тройку $(x,y,z),$ но нами получен общий вид $ay− 1 −a (-y-,y,ay−1)$ в зависимости от $y$ при учёте $a =±1.$

Осталось проверить, что в тройке нет совпадающих чисел различность.

Допустим, что $x= y.$ Тогда

x = ax− 1 x

x2− ax +1 =0

D =a2− 4= −3 <0

То есть такого быть не может. Остальные два равенства $y =z$ и $x =z$ проверяются (что они невозможны) аналогично.

Ответ:

{ $− 1$ ; $1$ }

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#97665Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a2+ b2 =c2+ d2 = 1$ и $ac +bd= 0$ для некоторых действительных чисел $a,b,c,d.$ Найдите все возможные значения выражения $ab+ cd.$

В ответ запишите все возможные значения выражения через пробел, если их нет, введите « $−$ ».

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, речь идет о какой-то симметрии... Попробуйте выразить ab+cd через выражения из условия

Подсказка 2

ab+cd=ab*1+cd*1=...

Подсказка 3

ab+cd=(bc+ad)(bd+ac). Докажите это.

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что $a2 +b2 = c2 +d2 = 1,$ и распишем искомое выражение следующим образом:

( 2 2) (2 2) ab+ cd =ab⋅1+ cd ⋅1 =ab c +d + cda + b =

2 2 2 2 = abc + abd + a cd+ b cd =ac⋅bc+ad⋅bd+ ac⋅ad +bc⋅bd =

= ac(bc+ad)+ bd (ad+ bc)= (bc+ ad)(bd+ ac)

По условию $bd+ac= 0,$ получается:

ab+cd= (bc +ad)(bd+ ac) =0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#30980Максимум баллов за задание: 7

Найдите величину выражения $-1---+ -1---+--2--, 1+x2 1+y2 1 +xy$ если известно, что $x ⁄= y$ и сумма первых двух слагаемых выражения равна третьему.

Источники: Всесиб-2016, 11.1 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите условие задачи о сумме первых двух дробей и попробуйте привести его к общему знаменателю, перемножить по правилу пропорции и преобразовать! Наша цель - разложить на множители левую и правую часть так, чтобы в множителях было (х-у) (ведь на него мы спокойно можем сокращать)

Подсказка 2

После перемножения по правила пропорции и сокращения подобных мы получим 2xy +y³x+ x³y =x²+ y² + 2x²y². Тогда перенесем 2xy вправо, а 2x²y² влево и разложим на множители обе части!

Показать ответ и решение

Сначала напишем равенство суммы первых двух слагаемых третьему, и преобразуем его.

--1-- --1-- --2-- 1+ x2 + 1+ y2 = 1+ xy

2 2 ---2+2-y2+x-2-2 =--2-- 1+ x + y +x y 1+ xy

2+y2+ x2+ 2xy +y3x+ x3y =2 +2x2+ 2y2 +2x2y2

2xy+y3x+ x3y = x2+y2+ 2x2y2

xy(x2+ y2− 2xy)= x2+ y2− 2xy

xy(x− y)2 =(x− y)2

Так как по условию $x⁄= y,$ то на $2 (x− y)$ можно сократить. Получаем $xy = 1.$

Подставив в самую верхнюю строчку вычислений, получим, что сумма первых двух дробей равна $2 1+1 =1,$ и третья дробь тоже равна $1.$ Значит, сумма трёх дробей равна $2.$

Ответ:

$2$