Тема Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Последовательности и прогрессии на Всесибе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68023Максимум баллов за задание: 7

В возрастающей арифметической прогрессии из $n$ натуральных чисел каждый член, кроме последнего, делится на свой номер в прогрессии, а последний – нет. Докажите, что $n$ является степенью некоторого простого числа.

Источники: Всесиб-2023, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на наше условие о том, что все числа с номерами меньше n делятся на свой номер. Эти числа будут вида a+(k-1)d, и если посмотреть по модулю k, то это будет сравнимо с a-d = 0 (mod k). Какое противоречие можно найти, если n (кол-во чисел в прогрессии) - не степень простого?

Подсказка 2

По факту мы поняли что a-d делится на все k<n. А что можно найти у числа, которое не является степенью простого?

Подсказка 3

Делители, которые являются взаимно простыми! Поймите, как это применить, зная что a-d делится на все k<d.

Показать доказательство

Пусть первый член прогрессии равен $a,$ а разность равна $d.$ Тогда из условия $a∈ℕ,d ∈ℕ.$ По условию $k−$ ый член последовательности делится на $k$ (кроме последнего), тогда получим:

a+ (k− 1)d= a+kd− d≡k a− d≡k 0.

Значит, $a− d$ делится на все числа от $1$ до $n− 1.$ Пусть $n$ не является степенью простого числа, тогда $n= p⋅q,$ где $p$ и $q$ не имеют общих делителей. Тогда

a− d≡p 0

a− d≡ 0. q

Значит, так как $n= pq,$ то $a− d≡ 0. n$ То есть последний член делится на $n.$ Противоречие.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73447Максимум баллов за задание: 7

Определим последовательность $x ,x,x ,...,x 1 2 3 100$ следующим образом: пусть $x 1$ произвольное положительное число, меньшее 1 , и $2 xn+1 = xn− xn$ для всех $n =1,2,3,...,99.$ Докажите, что $3 3 3 x1+ x2+ ...+x99 < 1.$

Источники: Всесиб-2021, 9.4(см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем раскрутить задачку с конца. Если x₁<1, то x₁-(что-то неотриц.)<1…

Подсказка 2

Вспомните про циклические суммы. Как представить x₁-x₁₀₀ по другому?

Подсказка 3

Кубы как-то особо не связаны с исходной формулой для xₙ. Зато квадраты очень даже связаны. Что нужно доказать чтобы понизить степень многочлена?

Подсказка 4

Верно, нужно доказать что 1>x₁>x₂>…>x₁₀₀>0. Теперь нужно как-то из квадратов сделать первую степень…

Подсказка 5

xₙ-x_{n+1}=xₙ², а также x₁-x₁₀₀=x₁-x₂+x₂-x₃+…-x₉₉+x₉₉-x₁₀₀

Показать доказательство

Докажем сначала, что $1> x >x >...>x > 0. 1 2 100$ Для этого воспользуемся индукцией по $n =1,2,...,99.$ База индукции $x ∈(0,1) 1$ верна по условию. Шаг индукции: при $xn ∈ (0,1)$ выполнены неравенства $2 0< xn < xn,$ поэтому $2 xn+1 =xn − xn <xn <1$ и $2 xn+1 = xn− xn > 0,$ то есть $xn+1 ∈(0,1).$

Ввиду доказанного, $3 2 xn < xn = xn− xn+1$ для всех $n= 1,2,...,99,$ поэтому

3 3 3 2 2 2 x1 +x2+ ...+ x99 <x1+ x2+ ...+ x99 = x1− x2+x2 − x3+ ...+ x99− x100 =x1− x100 <x1 < 1,

что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#97891Максимум баллов за задание: 7

Последовательность чисел $a ,n= 1,2,...,12 n$ такова, что

an+1+1- a1 =1,a12 =2,an+2 = an

для всех натуральных $n= 1,2,...10.$ Найдите $a4.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что нам дано в условии: есть 12 чисел а₁, ...а₁₂, первое и последнее известны, а также есть 10 соотношений, их связывающие (для n от 1 до 10). По сути есть система из 10 уравнений с 10 неизвестными, и нам обещают, что она разрешима единственным образом. Что самое простое и естественное хочется сделать, когда перед нами куча несложных уравнений с кучей неизвестных?

Подсказка 2

Конечно, для упрощения системы хочется начать выражать неизвестные друг через друга! Зачем нам думать о всех 10 неизвестных, если можно уменьшить их количество?

Подсказка 3

Например, а₃ = (а₂+1)/а₁. То есть а₃ = a₂+1, и а₃ дальше в нашей системе уже фигурировать не будет. Попробуйте так же выразить несколько следующих членов последовательности, может, что-нибудь красивое получится!

Показать ответ и решение

Для краткости обозначим $a 2$ за $x$ и найдём несколько первых членов последовательности при $x ⁄=− 1$ , что, как мы увидим, будет выполнено:

x +2 2x+ 2 2 a1 =1,a2 = x,a3 = x+ 1,a4 =-x-,a5 = x(x+-1) = x,a6 =1,a7 = x

Следовательно, она периодична с периодом 5. В таком случае

a2 = a12 = 2,a3 = 2+-1 =3,a4 = 3+-1= 2 1 2

Ответ: 2