Тема Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Системы на Всесибе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119867

Найти все пары действительных чисел $a$ и $b,$ удовлетворяющих системе уравнений.

{ a= -6- b= a+5b- 3a−b

Источники: Всесиб-2025, 11.1(см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

От знаменателей точно нужно избавляться, но не забудьте про ОДЗ.

Подсказка 2

Равенства получились не очень удобные. Одну переменную через другую не выразить. Зато можно попробовать сложить или вычесть, вдруг получится что-то хорошее?

Показать ответ и решение

Первое уравнение эквивалентно $a2+ ab= 6,$ второе: $3ab− b2 =5.$ Вычтем второе уравнение из первого, получим $a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2 = 1,$ откуда $a= b± 1.$

1.: $a =b− 1.$ Подставим в первое уравнение: $2 2b− 3b− 5 =0,$ $−-3±√49 b= 4 .$ Тогда $3 a= 2;−2.$ Обе пары подходят.
2.: $a =b+ 1.$ Подставим в первое уравнение: $2 2b+ 3b− 5 =0,$ $− 3±√49 b= ---4--.$ Тогда $3 a= 2,−2.$ Обе пары подходят.

Ответ:

$±(2,1),±(3,5) 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#126311

Найти все тройки действительных чисел $a,b,c$ , удовлетворяющих системе уравнений:

(| ab− c=3 { a+ bc=4 |( 2 2 a + c =5

Источники: Всесиб - 2025, 10.2 ( см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А как обычно решаются системы? Что-то складываем, что-то вычитаем... Есть ли в задаче намёк на то, как и что следует сложить?

Подсказка 2

3² + 4² = 5².

Подсказка 3

Получим, что b = ±2. Рассмотрим оба случая. Вам останется только решить системы с 2 неизвестными.

Показать ответ и решение

Сложим первое и второе уравнения, возведя их в квадрат:

2 2 2 2 (ab− c) + (a +bc) =3 + 4

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b − 2abc+c + a +2abc+ bc = (b + 1)(a +c )= 3 +4 = 25

Из 3 уравнения знаем, что $a2+ c2 = 5,$ тогда

5(b2+1)= 25

b= ±2

1) $b=2$

Из первого уравнения

c= 2a − 3

Подставим это в третье уравнение:

5a2− 12a+ 4= 0

2 a= 2;5

Имеем 2 кандидата на решение:

a= 2; b= 2; c= 1

2 11 a= 5; b= 2; c=− 5

Первая тройка второму уравнению удовлетворяет, а при подстановке второй во второе уравнение получим в левой части $− 4,$ следовательно, первая тройка является искомым решением.

2) $b=− 2$

Из первого уравнения

c= 2a − 3

Подставим это в третье уравнение:

2 5a + 12a+ 4= 0

a =− 2;− 2 5

Имеем 2 кандидата на решение:

a =− 2; b= −2; c= 1

a= − 2; b= −2; c= − 11 5 5

Вторая тройка второму уравнению удовлетворяет, но, при подстановке первой во второе уравнение, получим в левой части $− 4,$ следовательно, вторая тройка является искомым решением.

Итого получаем

a= 2; b= 2; c= 1

a= − 2; b= −2; c= − 11 5 5

Ответ:

$a =2;b= 2;c= 1$ и $a= 2;b= −2;c=− 11 5 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#68022

Найти все решения системы уравнений в действительных числах:

(| x5 =y3+ 2z |||{ | y5 =z3+ 2x |||( z5 =x3+ 2y

Источники: Всесиб-2023, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на нашу систему, что можно сказать о ней? Верно, уравнения в ней циклические! Поэтому можно упорядочить наши переменные, не умаляя общности: x ≥ y ≥ z.

Подсказка 2

Вычтем из первого уравнения третье: x⁵-z⁵ = y³+2z-x³-2y. Заметим, что левая часть уравнения всегда неотрицательна, а правая не больше нуля! Какой вывод можно сделать из этого?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если тройка $(x,y,z)$ является решением, то решениями являются $(y,z,x),(z,x,y)$ . В силу этой цикличности системы мы можем не умаляя общности считать $x$ наибольшим.

Вычтем из первого уравнения второе и третье:

5 5 3 3 x − z = (y − x )+ 2(z− y)

5 5 3 3 x − y = (y − z )+ 2(z− x)

Если $z ≤ y,$ то $0≤x5 − z5 = (y3 − x3)+ 2(z− y)≤0+ 2⋅0= 0,$ поэтому должно достигаться равенство $0= x− z = y− x = z− y =0.$

Если $y ≤ z,$ то $0≤x5 − y5 = (y3 − z3)+2(z− x)≤0+ 2⋅0= 0,$ поэтому должно достигаться равенство $0= x− y = y− z =z − x =0.$

Таким образом, система может иметь решение только при $x= y = z.$ При подстановке в любое из уравнений системы получаем

5 3 x − x − 2x= 0

x =0 или x2 = 2

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что в любой тройке, являющейся решением, все переменные одного знака: они либо все неотрицательны, либо все неположительны. Это следует из того, что нечётная степень числа имеет тот же знак, что и само число. Действительно, среди переменных две имеют одинаковый знак, тогда правая часть уравнения, содержащего эти переменные, имеет тот же знак, значит и левая часть, а с ней и третья переменная имеют тот же знак. Кроме того, если одна из переменных равна $0,$ то левая часть соответствующего уравнения равна $0,$ значит сумма двух чисел одного знака в правой части тоже равна $0,$ поэтому каждое из этих чисел равно $0.$

Внесём эту тройку в ответ. Тогда дальше можно считать, что все переменные не равны $0.$ При умножении решения системы на $− 1$ снова получаем решение, следовательно, дальше можно считать, что $x,y,z >0,$ а потом внести в ответ тройку с противоположными знаками.

Сложим все три уравнения и перенесем правую часть в левую:

(x5− x3− 2x)+ (y5− y3− 2y)+ (z5 − z3− 2z)= 0.

Теперь рассмотрим функцию $5 3 4 2 2 2 f(x) =x − x − 2x =x(x − x − 2)= x(x +1)(x − 2).$ Нетрудно понять, что при $√ - 0 <x < 2$ значении функции отрицательно, а при $√ - x > 2$ положительно, а также при $√- x∈{0; 2}$ оно равно $0.$ Отсюда следует, что все переменные не могут быть одновременно больше или одновременно меньше $√ - 2.$ Так как иначе $f(x)+f(y)+f(z)⁄=0,$ ведь в левой части стоит сумма трёх чисел одного знака, поэтому они все должны равняться $0,$ откуда следует, что при этом $√ - x =y =z = 2.$

Итак, остались два случая, $√ - x > 2≥ y,z$ и $√- x,y ≥ 2> z.$

Если $√- x> 2≥ y,z,$ тогда $x5− y3− 2z ≥ x5− x3− 2x >0$ — это не решение.

Если $√ - x,y ≥ 2> z,z5− x3− 2y <z5− z3− 2z < 0$ — это тоже не решение.

Таким образом доказано, что других решений, кроме уже найденных, нет.

Ответ:

$(−√2,−√2,−√2-),(0,0,0),(√2,√2,√2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#71445

Найти все решения в действительных числах системы уравнений

(| x(1 +yz)= 9 { y(1 +xz)= 12 |( z(1+ xy)= 10

Источники: Всесиб-2022, 11.2 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнениях степени небольшие, поэтому не составит труда немного поработать ручками и с помощью простых преобразований прийти к чему-то более красивому. Быть может, стоит попробовать выразить все переменные через одну из них?

Подсказка 2

Вычтем первое уравнение из двух других, теперь мы знаем, как выразить все переменные через одну! Теперь можно подставить их в любое уравнение и что-то понять.

Подсказка 3

Получится кубическое уравнение, у которого можно угадать корень. Остается лишь найти остальные или доказать, что их нет!

Показать ответ и решение

Вычтем первое уравнение из второго и третьего, получим:

{ y− x = 3 z− x = 1

Подставим выражения $y = x+ 3,z = x+1$ в первое уравнение, получим

x(x+ 3)(x+ 1)+ x= 9

x3+4x2+ 4x− 9=0

Одним из его корней является $x= 1,$ поэтому

x3+4x2+ 4x− 9 =(x− 1)(x2+ 5x+ 9)

Дискриминант второй скобки отрицателен, поэтому единственным действительным корнем кубического уравнения и решением исходной системы является $x= 1.$ Тогда $y = x+ 3= 4,z =x +1= 2.$

Ответ:

$(1,4,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#77814

Найти все решения системы уравнений в действительных числах:

(| xy+ z+ t=1 |||{ yz+ t+x =3 | |||( zt+ x+ y = −1 tx+ y+z =1

Источники: Всесиб-2020, 11.1 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Хмм... Сразу видно, что все уравнения в системе очень похожи друг на друга... На что намекают свободные коэффициенты и вид уравнений?

Подсказка 2:

Левые части соседних уравнений отличаются сдвигом переменных по циклу. При этом каждое уравнение содержит произведение и сумму двух переменных... Можно ли это как-то использовать?

Подсказка 3:

Конечно! Давайте вычтем уравнения друг из друга по циклу! Что можно сказать про их разности? К какому виду их левые части можно привести?

Подсказка 4:

Верно! Разность первого и второго уравнений выглядит так: xy-yz+z-x=-2. Заметим, что в левой части можно вынести (x-z). Получаем: (x-z)(y-1)=-2. Приведём к такому виду все полученные уравнения. Что можно заметить?

Подсказка 5:

Из второго уравнения следует, что (y-t) ≠ 0. Чему тогда равен x?

Подсказка 6:

Верно! x=1. Тогда из (x-z)(y-1) =-2 и (z-x)(t-1)=-2 следует, что y=2-t! Осталось только подставить выражения в изначальные уравнения и найти значения переменных!

Показать ответ и решение

(|xy+ z+t =1 (1) |||{yz+ t+x =3 (2) | |||(zt+x +y =−1 (3) tx+y +z =1 (4)

Сделаем следующие действия: $(1)− (2), (2)− (3), (3)− (4), (4)− (1).$ Разложим каждую разность на множители и получим:

(||(x− z)(y− 1)= −2 (5) ||{(y− t)(z− 1)= 4 (6) ||(z− x)(t− 1) =−2 (7) ||((y− t)(x− 1) =0 (8)

Из $(6)$ получаем $y− t⁄= 0,$ поэтому из $(8)$ имеем $x= 1.$ Из $(5)$ и $(7)$ получаем $x− z ⁄= 0 и y − 1 =1− t,$ откуда $y =2− t.$ Подставим найденные выражения в $(1)$ и $(2)$ и получим $z = −1,t= 2,$ откуда $y = 0.$ Таким образом, получаем единственное решение системы: $(1,0,−1,2).$

Ответ:

$(1,0,−1,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#91381

Решить в действительных числах систему уравнений:

{ x2+ xy+y2 = 4, 4 22 4 x + xy + y = 8.

Показать ответ и решение

Рассмотрим случаи.

1) $x= y$ , тогда $2 4 3x = 4, 3x = 8$ , откуда $2 x = 2$ , что явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.

2) $x= −y$ , тогда $2 4 x =4, 3x = 8$ , откуда $2 2 x = 3$ что тоже явно не удовлетворяет обоим уравнениям. Решений нет.

3) $x⁄= ±y$ . Домножим первое уравнение на $x − y$ . получим $3 3 x − y =4(x− y)$ . Домножим второе уравнение на $2 2 x − y$ , получим

( ) x6− y6 =8 x2− y2

Поделим второе уравнение на первое, получим

3 3 x +y = 2(x+y),

откуда

2 2 x − xy+ y =2.

С учётом первого уравнения, $xy = 1,x2y2 = 3.$ Заменяя $y = 1 x$ , получаем биквадратное уравнение $x4− 3x2 +1= 0$ , откуда $∘3±√5- ∘ 3∓√5- x =± 2 ,y = ± 2$ – всего 4 решения.

Ответ:

$(∘-3+√5,∘ 3−√5) 2 2$ , $( −∘-3+√5,−∘ 3−√5) 2 2$ , $(∘ 3−-√5,∘ 3+√5) 2 2$ , $(−∘ 3−√5,− ∘-3+√5) 2 2$