Тема . Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Планиметрия на Всесибе

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126310

Отрезок AB  точками P  и M  разбит на три отрезка AP,  PM  и MB,  из которых можно составить треугольник. Найти все точки    X,  лежащие внутри отрезка P M  для произвольного такого разбиения.

Источники: Всесиб - 2025, 10.1 ( см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите, что нам дано в задаче, например, как воспользоваться условием о том, что из отрезков можно составить треугольник?

Подсказка 2

Это означает, что отрезки удовлетворяют неравенству треугольника. Попробуйте понять, где будет лежать точка M на отрезке AB.

Подсказка 3

Из неравенства треугольника AP + PM > MB, но тогда AP + PM > AB/2, следовательно, точка M всегда лежит правее отрезка AB.

Подсказка 4

Проведите аналогичные рассуждения для точки P.

Подсказка 5

Выходит, что середина отрезка AB всегда лежит между точками P и M. А найдутся ли другие?

Подсказка 6

Возьмем точку X, отличную от центра (обозначим его за O). Пусть X лежит между O и A. Может стоит взять какую-нибудь "хорошую" точку за P?

Подсказка 7

Пусть P — середина OX, а M — точка, симметричная P относительно O.

Подсказка 8

Попробуйте через неравенство треугольника доказать, что точка X не лежит на отрезке PM.

Показать ответ и решение

PIC

По неравенству треугольника

AP + PM > MB

Поэтому

          1
AP +PM  > 2AB

Следовательно, точка M  всегда лежит правее середины отрезка AB.  Аналогично, PM + MB > AP.  Поэтому

PM +MB  > 1AB
          2

Следовательно, точка P  всегда лежит левее середины отрезка AB.  Значит, середина O  отрезка AB  всегда лежит строго между точками P  и M,  то есть лежит внутри отрезка PM  для любого разбиения AB  точками P  и M  из условия.

Докажем, что больше таких точек нет. Рассмотрим произвольную внутреннюю точку X  отрезка AB,  отличную от O.  Не умаляя общности будем считать, что X  лежит между A  и O.  Обозначим за P  середину отрезка OX,  а за M  — точку, симметричную P  относительно O.  Тогда

     1
PM < 2AB

AP =MB

AP +MB  > 1AB
          2

Следовательно,

AP + MB > PM

Значит, из отрезков AP,  PM  и MB  можно составить равнобедренный треугольник, и мы построили «треугольное» разбиение AB,  в котором точка X  не лежит в отрезке PM.

Другой способ выбора точек P  и M  для X:  за P  возьмём середину OX,  за M  — середину PB.  Тогда

P M = MB

PM +MB  > 1AB
          2

PM  +MB  >AP

Следовательно, из отрезков AP,  PM  и MB  можно составить равнобедренный треугольник. Тогда мы построили «треугольное» разбиение AB,  в котором точка X  не лежит на отрезке P M.

Ответ:

Середина отрезка AB

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!