Планиметрия на Всесибе

В равнобедренном треугольнике угол является центральным в описанной окружности треугольник оэтому он вдвое больше соответствующего ему вписанного угла значит, его величина равна Тогда угол при его основании равен следовательно, расстояние от до стороны равно половине радиуса описанной окружности Хорошо известно, что это расстояние в произвольном треугольнике равно половине длины отрезка следовательно, длина равна радиусу описанной окружности поэтому треугольник — равнобедренный и его биссектриса из вершины является его высотой.

В равнобедренном треугольнике угол при его вершине равен удвоенному углу поэтому угол при его основании равен углу С другой стороны, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой из и стороной угол тоже равен Следовательно, в треугольнике его высота из является и биссектрисой его угла Таким образом, треугольник — равнобедренный с углом при вершине, то есть равносторонний, что и требовалось доказать.

Так как — биссектриса, то . В силу параллельности и также .

Пусть — центр окружности, описанной около . Тогда , так как — равнобедренный треугольник. Откуда .

Также равнобедренными будут треугольники ( как радиусы) и (углы и равны по вышесказанному). Значит,

Тогда по двум сторонам и углу между ними, потому что , радиусы , а углы

Следовательно, и тогда точки лежат на одной окружности.

Первое решение (счетное).

Давайте будет пользоваться свойством биссектрисы:

Тогда:

Теперь подставим это в

Домножим на знаменатели:

Тогда из теоремы косинусов для треугольника следует, что Отсюда получаем ответ.
Второе решение (более идейное).

Отметим точку на отрезке такую что Тогда из условия следует, что Заметим, что треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Аналогично равны треугольники Из этого следует:

Теперь воспользуемся тем, что

Тогда по теореме о сумме углов:

Обозначим точку пересечения отрезков и за Отметим на луче точку такую, что является серединой отрезка

Диагонали и четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому он является параллелограммом, его стороны и параллельны и то есть а

В треугольнике следовательно, треугольники и подобны. Их соответствующие стороны и перпендикулярны, а отрезки и являются медианами этих треугольников, проведёнными к соответствующим сторонам, поэтому тоже перпендикулярны.

Удвоим до точки и до точки , тогда . Мы удвоили медиану, потому в силу параллельности и прямого угла . Но тогда , то есть , но тогда — ортоцентр и .

По теореме Пифагора

Сложим эти равенства и перегруппируем результат в виде:

Каждое из выражений в скобках имеет вид для некоторого и заключено в пределах от включительно до невключительно. Следовательно, сумма заключена от включительно до невключительно.

Обозначим вершины произвольного вписанного в окружность четырёхугольника за и центр окружности за середины сторон и за и соответственно.

Отрезки и являются серединными перпендикулярами к сторонам и поэтому они параллельны перпендикулярам и опущенным на эти стороны из середин противоположных сторон четырёхугольника. Обозначим точку пересечения этих перпендикуляров за из параллельности отрезков и а также и следует, что четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, его диагонали и пересекаются в точке делящей их пополам. Диагональ при этом является средней линией четырёхугольника поэтому точка пересечения перпендикуляров и опущенных из середин сторон и на противоположные стороны четырёхугольника, симметрична центру описанной окружности относительно середины отрезка соединяющего середины сторон и

Аналогично доказывается, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из середин сторон и на противоположные стороны четырёхугольника, симметрична центру О описанной окружности относительно середины отрезка соединяющего середины сторон и Четырёхугольник образованный серединами сторон произвольного четырёхугольника образуют параллелограмм (Вариньона), стороны которого параллельны диагоналям и и равны их половинам.

Следовательно, отрезки и являющиеся диагоналями параллелограмма делятся точкой их пересечения пополам, поэтому их середины совпадают. Значит, совпадают и точки и симметричные центру относительно этих середин.

Таким образом, все четыре перпендикуляра, опущенных из середин сторон вписанного четырёхугольника пересекаются в точке , симметричной центру описанной окружности относительно точки пересечения средних линий и этого четырёхугольника.

Первое решение.

Величина угла равна . Если бы луч лежал бы вне угла величина угла равнялась бы сумме величин и и была бы больше градусов, что противоречит условию. Следовательно, луч лежит внутри угла поэтому величина угла равна сумме величин углов и то есть градусам. Значит, угол — прямой и треугольник является прямоугольным с гипотенузой AC , а точка O середина стороны AC.

Обозначим точку пересечения биссектрисы со стороной за Углы и равны следовательно, прямые и симметричны относительно биссектрисы то же самое верно и для прямых и Значит, треугольники и равны и точки и симметричны относительно а треугольник прямоугольный равнобедренный.

Продлим отрезок до пересечения со стороной в точке симметричной относительно биссектрисы Обозначим за середину отрезка по теореме обратной теореме Фалеса отрезки и параллельны, следовательно угол равен углу то есть градусам. Значит, треугольник — прямоугольный равнобедренный и равен треугольникам и Отсюда следует, что точки и делят отрезок на три одинаковых части.

Опустим из точки перпендикуляры и на стороны и соответственно, точки и являются точками касания этих сторон со вписанной окружностью, четырёхугольник является квадратом. Углы и прямые, значит, углы и равны, отсюда следует равенство прямоугольных треугольников и По теореме Фалеса длина равна половине длины а длина вдвое больше длины

Следовательно, длина стороны равна Из теоремы Пифагора Следовательно,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пункт 1, точки те же, что как в первом решении, четырёхугольник является квадратом.

В прямоугольном треугольнике катет вдвое больше катета Считаем длину равной единице, тогда площадь треугольника равна длина гипотенузы АО равна , а высота из вершины равна . Эта высота и отрезки и равны, как радиусы вписанной окружности, поэтому

Следовательно,

Из теоремы Пифагора , откуда

Для начала заметим, что

так как треугольники и имеют по равному углу (вертикальные), то из суммы углов в треугольнике получаем

Значит,

Построим точку вовне четырёхугольника такую, что равносторонний.

Теперь заметим, что

и

Но тогда равны треугольники и , откуда и , откуда . Кроме того,

Значит, треугольник искомый.

Так как , то по обратной теореме Фалеса, тогда из подобия треугольников

Так как из подобия соответствующих треугольников и , то с учётом по обратной теореме Фалеса получаем и

Теперь обозначим середину как . Тогда как средняя линия и . Так как равнобедренный и , то , что означает вписанность четырёхугольника

Проведем перпендикуляр к так, чтобы лежало на окружности и отметим середину как . Тогда (так как вписанный по построению) . — средняя линия треугольника и поэтому . Пусть пересекает в точке . Так как , то , и значит, точки и совпадают.

Итак, независимо от выбора точки на окружности описанная в условии прямая проходит через фиксированную точку - середину отрезка на восставленном из точки перпендикуляре, продолженном до пересечения с окружностью.

Первое решение.

Обозначим От проведения высот нам понадобятся следующие результаты:

Также известно, что угол между прямыми равен углу между перпендикулярами к этим прямым, так что

По условию — медиана в прямоугольном треугольнике , поэтому

Из и следует, что в четырехугольнике противоположные углы в сумме дают значит, он вписанный. А вписанные углы, опирающиеся на дугу равны:

Получаем, что соответственные углы и равны, поэтому прямая параллельна высоте , так что тоже перпендикулярна стороне , что и требовалось.

Второе решение.

Так как , то четырёхугольник — вписанный. Значит, . Так как и высоты, то .

По условию — медиана в прямоугольном треугольнике , поэтому Отсюда следует, что четырехугольник вписанный.

Отсюда . Мы знаем, что , поэтому четырехугольник вписанный. Значит

Тогда

Пусть — центр первой окружности, — проекции точки на прямые и соотвественно. Тогда достаточно доказать, что точки лежат на одной прямой. Для этого покажем, что .

Действительно, , в силу вписанности четырехугольника , тогда треугольники и подобны по двум углам, следовательно, .

Наконец, прямые, проведенные из вершины треугольника и соотвественно ортоцентр и центр описанной окружности симметричны относительно биссектрисы треугольника, проведенной из сооствествующей вершины, то есть , что завершает доказательство.

Первое решение.

Обозначим через медиану из вершины , через - точку пересечения медиан , через I - точку пересечения его биссектрис . Проведём через прямую параллельно , пересекающую биссектрису в точке - её середине. По теореме Фалеса поэтому . По свойству биссектрис и в треугольниках и имеем . Отсюда

Второе решение.

Пусть — биссектрисы, — медианы, — высота, — периметр Пусть , тогда Отсюда следует

Из отношения высот получим

Обозначим длины искомых отрезков за , отметим центры и окружностей и опустим из них перпендикуляры и на прямую , обозначим их длины за и соответственно.

По теореме Пифагора имеем:

Отсюда

преобразуем это уравнение в биквадратное

Находим

поэтому единственный положительный корень . Следовательно, длины отрезков и равны 2 см.