Планиметрия на Всесибе

Подсказка 1

Рассмотрите точку касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной AC (назовем ее M).

Подсказка 2

Обозначим за a, b, c длины сторон BC, AC и AB соответственно. Какие равенства можно записать?

Подсказка 3

Например, AM = (b + c - a) / 2. Подумайте, какие преобразования фигуры могли бы нам помочь в решении.

Подсказка 4

Отзеркальте треугольник ABC относительно биссектрисы CI. Пусть A₁ — образ вершины B. Попробуйте заметить некоторое неравенство.

Подсказка 5

На самом деле, CM < CA₁, тогда можно записать неравенство в терминах a, b и c.

Подсказка 6

Теперь отзеркальте прямую BC относительно биссектрисы AI.

Подсказка 7

Заметьте, что после аналогичных преобразований можно найти отрезок, равный MA₁.

Подсказка 1

Рассмотрите треугольники разных видов по отдельности. Например, для остроугольных нужен особый подход.

Подсказка 2

Какие "интересные" точки бывают внутри треугольников?

Подсказка 3

Попробуйте посмотреть на ортоцентр. Обозначим его за H, треугольник — за ABC.

Подсказка 4

Что можно сказать про угол AHC?

Подсказка 5

Убедитесь, что он равен 180° - ∠ABC. Какой вывод можно из этого сделать?

Подсказка 6

Точка, симметричная H относительно стороны AC, лежит на описанной окружности (ABC) треугольника ABC. Проведите аналогичные рассуждения для других углов.

Подсказка 7

Теперь рассмотрим тупоугольный неравнобедренный треугольник ABC с тупым углом B. Также можем считать, что угол С больше угла A.

Подсказка 8

Посмотрите на серединный перпендикуляр к стороне AB.

Подсказка 9

Пусть P — точка его пересечения со стороной AC. Что можно сказать о треугольнике APB?

Подсказка 10

Он равнобедренный! Теперь обратите внимание на описанную окружность треугольника PBC.

Подсказка 11

Подумайте о четырехугольнике PKBC. Попробуйте применить теорему синусов.

Подсказка 1:

Попробуйте обозначить через R радиус описанной окружности треугольника, а углы через α, β, γ. Как отрезок BH выражается через эти параметры? А если учесть, что бета равно 60°?

Подсказка 2:

Итак, кажется, вы получили, что треугольник BHO равнобедренный. Было бы здорово, если бы его биссектриса из точки B оказалась биссектрисой и в KBM.

Подсказка 3:

Если на этом этапе возникли трудности, вспомните (или изучите) свойства ортоцентра, это поможет :)

Подсказка 1

Посмотрите, что нам дано в задаче, например, как воспользоваться условием о том, что из отрезков можно составить треугольник?

Подсказка 2

Это означает, что отрезки удовлетворяют неравенству треугольника. Попробуйте понять, где будет лежать точка M на отрезке AB.

Подсказка 3

Из неравенства треугольника AP + PM > MB, но тогда AP + PM > AB/2, следовательно, точка M всегда лежит правее отрезка AB.

Подсказка 4

Проведите аналогичные рассуждения для точки P.

Подсказка 5

Выходит, что середина отрезка AB всегда лежит между точками P и M. А найдутся ли другие?

Подсказка 6

Возьмем точку X, отличную от центра (обозначим его за O). Пусть X лежит между O и A. Может стоит взять какую-нибудь "хорошую" точку за P?

Подсказка 7

Пусть P — середина OX, а M — точка, симметричная P относительно O.

Подсказка 8

Попробуйте через неравенство треугольника доказать, что точка X не лежит на отрезке PM.

Подсказка 1

А давайте попробуем просто всё посчитать. :)

Подсказка 2

Начнём с углов. Особенно интересны нам ∠BAC, ∠BHC и ∠BCH.

Подсказка 3

Попробуйте применить теорему синусов к треугольнику ABC.

Подсказка 4

А если вновь применить теорему синусов, но уже к треугольнику HBC?

Подсказка 1

Когда в параллелограмме проведена биссектриса, так и хочется поискать равнобедренные треугольники. Видно, что △KCM — равнобедренный. С чем тогда хочется соединить центр О описанной окружности △KCM?

Подсказка 2

Верно, с точкой C! Тогда OC будет серединным перпендикуляром к KM. Но ведь не любая точка на нём будет центром окружности, поэтому надо как-то еще попользоваться ей. Предлагаю отметить, что OK=OC. А как нам подобраться к описанной окружности △BCD?

Подсказка 3

Можно попытаться доказать, что уголочки ∠OBC и ∠ODC равны. Какие у нас есть для этого инструменты? В самом удачном случае мы просто найдем равные треугольнички... У нас уже есть равенство отрезков OK и OC, поэтому можно попытаться установить равенство △BOK и △DOC...

Подсказка 4

Равенство сторон BK и DC следует из равнобедренности △ABK. Осталось лишь показать, что уголки ∠BKO и ∠DCO равны. Посмотрите на смежные им уголки и завершите решение!

Подсказка 1

Нам известно, что некоторые углы на чертеже в два раза больше других. Но как это может нам помочь? Для чего это вообще дано? Вспомните, какие есть геометрические конструкции, в которых одни углы в два раза больше других.

Подсказка 2

Посмотрим на окружность: в ней центральные углы в два раза больше вписанных. Давайте и в нашей задаче построим какую-нибудь окружность так, чтобы "маленькие" углы были для неё вписанными.

Подсказка 3

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ADP, а также её центр. Поотмечайте уголочки и найдите равные.

Подсказка 4

Так, есть равнобедренные треугольники и равные углы, но что с этим делать? Вот было бы удобно, если бы ABPM был параллелограммом... Постойте, а если это действительно так?

Подсказка 5

Постройте параллелограмм ABPO и докажите, что точки O и M совпадают. Тогда останется только отметить равные стороны и радоваться решённой задаче!

Подсказка 1

Раз у нас есть условие на то, что сторона AC равна сумме отрезок, то давайте разобьем нашу сторону как раз на две части, каждая из которых будет равна одному из отрезков в условии) Причем т.к. у нас тут биссектрисы, то удобно будет сделать так, чтобы равные отрезки прилегали к одной вершине. Разделим так нашу сторону точкой D. Что можно заметить на картинке теперь?

Подсказка 2

Пусть биссектрисы пересекаются в точке I. Тогда треугольники API и ADI равны! Тоже можно сказать про ICK и IDC. А дальше остается просто счет уголков)

Подсказка 1

Как можно доказать равенство двух отрезков?

Подсказка 2

Может, стоит рассмотреть их в некоторых фигурах? Попробуйте подумать о том, как можно получить некоторые средние линии на нашем рисунке.

Подсказка 3

Обозначьте середины отрезков AP и BP за T и S соответственно и докажите, что треугольники MTK и MSL равны.

Подсказка 4

Воспользуйтесь тем, что KT и SL — это медианы, проведенные из прямых углов. Можно ли найти какое-то равенство углов? Попробуйте заметить некоторую удобную фигуру.

Подсказка 5

Воспользуйтесь тем, что MTPS — параллелограмм.

Подсказка 1

Есть прямая BH, которая делит отрезок пополам...чем-то напоминает медиану в треугольнике, с которой можно выполнить полезное дополнительное построение. Какое?

Подсказка 2

Удвоим отрезок BP, отметив новую точку T, после чего у нас появится параллелограмм. Теперь мы можем посчитать в нем уголки. Вернемся к условию. Чем являются MN и KP для треугольников на рисунке? На чертеже много прямых и равных углов, быть может, стоит попробовать найти подобие?

Подсказка 3

Заметим, что MH и CP это медианы треугольников BCT и AHC, в которых есть перпендикулярные стороны. Что же осталось доказать?)

Подсказка 1

Дана равнобедренность, просят доказать касание. Какой приём здесь просится сам собой?

Подсказка 2

Правильно: подсчёт уголков!

Подсказка 3

Перекиньте ∠ABC как вертикальный угол.

Подсказка 4

Перекиньте ∠CAB из вписанности.

Подсказка 5

Вспомните о равнобедренности △ABC.

Подсказка 1

Да-а, кажется без дополнительных построений тут не обойдётся. Какое же построение хочется сделать? Правильно, давайте построим точку K — точку, симметричную A относительно M.

Подсказка 2

Хмм, посмотрим внимательно на получившуюся картинку. Несложно доказать, что KP ⊥ AE, а также можно увидеть, что BM является средней линией △EAK.

Подсказка 3

Что же получается? На рисунке есть какая-то точка, которая играет очень важную роль. Действительно, ведь точка P является ортоцентром △EAK!!!

Подсказка 1

У нас есть картинка, где абсолютно случайно, независимо друг от друга, выбирается 4 точки на разных сторонах квадрата. Это значит как минимум то, что либо нам надо будет объединить все слагаемые в полученной сумме (пока непонятно какой, но точно выражающей сумму из условия) в одно слагаемое, которое зависит только от стороны квадрата, либо нам надо оценивать каждое слагаемое по отдельности. Выразите каждое слагаемое из условия и попробуйте применить рассуждения выше.

Подсказка 2

Верно, можно сгруппировать наши слагаемые по частям стороны. Тогда каждая пара слагаемых будет иметь вид x² + (1 - x)². Как тогда получить оценку на каждое слагаемое, а значит, по соображениям из первой подсказки, и на всю сумму?

Подсказка 1

Если умеете считать в комплексных координатах, эта задача у вас много времени не займёт. Если не умеете, смотрите следующие подсказки)

Подсказка 2:

Пусть Q, R, S, P — середины отрезков BC, CD, DA, AB, а QL и SM — перпендикуляры на AD и BC. Пусть они пересекаются в точке V, а O — центр описанной окружности. Что можно сказать про четырехугольник QOSV?

Подсказка 2:

Правильно, он параллелограмм. Значит, точки O и V симметричны относительно середины QS — средней линии ABCD. То же самое можно сказать про вторую пару перпендикуляров и другую среднюю линию. А нет ли у этих средних линий чего-то общего?

Подсказка 3:

Когда в задаче идёт речь о серединах сторон четырёхугольника, нельзя не вспомнить про теорему Вариньона. Если не знаете её, то сначала изучите, а потом вернитесь к последнему вопросу из предыдущей подсказки)

Подсказка 1

Давайте начнем "раскручивать задачу" от условия. Как воспользоваться данными углами? Какие свойства есть у центра вписанной окружности?

Подсказка 2

Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис! Отсюда несложно найти угол B ;) А что мы знаем тогда про точку O?

Подсказка 3

Точка O — середина гипотенузы AC! Так, кажется, что тогда мы можем найти немало симметрий или равенств на картинке) Давайте попробуем пересечь AI с BC.

Подсказка 4

Итак, если пересечь AI и CB, то можно найти равные треугольники с общей стороной. Возникает желание так же провести OI до пересечения с AB ;)

Подсказка 5

Здорово, теперь у нас появилось сразу несколько пар равных треугольников! Также появились равнобедренные прямоугольные треугольники) Давайте попробуем построить ещё — отметим середину M у AI!

Подсказка 6

Теперь мы можем выразить отрезок AK через LI! Давайте вернёмся к условию задачи. Мы знаем, что треугольник прямоугольный, то есть нам достаточно найти выразить две стороны друг через друга, а третью найти несложно. Поэтому имеет смысл попытаться выразить стороны AB и BC через AC ;)

Подсказка 1

Чтобы такое доказать, здорово было бы на картинке действительно из этих отрезков отложенных где-то сложить прямоугольный треугольник. Давайте попробуем отметить его вершину и доказать, что это будет она!

Подсказка 2

Попробуем для начала посчитать имеющиеся углы - какие выводы можно сделать из условий на углы в задаче? Попробуйте посчитать сумму ADC и DCB, а затем и DAB и ABC.

Подсказка 3

Попробуйте пользуясь этими знаниями понять, где должна располагаться точка - вершина прямоугольного треугольника, который мы желаем построить. Для этого полезно пойти с конца - представим, что уже получилось отметить такую точку Х, что образовался прямоугольный треугольник DCX со сторонами равными DC, CA, DB. Нарисуйте такую картинку и попробуйте сделать выводы о точке Х - это поможет угадать, как ее построить!

Подсказка 1

Так, нам нужно доказать вписанность четырехугольника. Либо это нужно делать доказательством равенства некоторых отношений, либо через углы(которые являются следствием подобия). Если предположить, что мы будем доказывать через углы, то наиболее оптимальными кажутся углы OME и OKE. С углом OME пока не понятно, куда его перекинуть, а вот угол OKE кажется более интересным.

Подсказка 2

Посмотрим на отрезок PT. В силу отношений из условия, по обратной теореме Фалеса, PT || BC. А какие еще подобия, из-за этой параллельности, вы видите на картинке?

Подсказка 3

На картинке есть две пары подобных треугольников: (PET и CEM) и (PKT и BKM). Отсюда вытекают подобия TE/EM=PT/CM, PT/BM=PK/KM и , в силу CM=BM, по обратной теореме Фалеса, получаем, что углы OKE и OBC равны. А вот и получилось перекинуть угол OKE. Остался только вопрос, какому еще углу равен угол OME? Сразу не видно, но кажется, что такого угла нет на картинке. А как его получить, если воспользоваться симметрией треугольника AMC(он равнобедренный) и тем, что AT/2=ТC?

Подсказка 4

Можно соединить М c серединой TC(пусть это точка D). Тогда, в силу симметрии, так как AT=DC, то углы OME и DMC равны. А куда теперь можно перекинуть угол DMC, если MD соединяет середины сторон ВС и TC?

Подсказка 5

В силу того, что MD-cредняя линия, угол DMC и угол TBC равны. То есть осталось доказать, что угол TBC равен углу OKE , и задача решена!(параллельность такая: бзззз)

Подсказка 1

Если на одной и той же окружности при фиксированных A и B проделать указанные действия с разными C, можно попробовать угадать, в каком примерно месте находится общая точка :) Т.к. фиксированные именно A и B, попробуем как-то связать их с общей точкой.

Подсказка 2

Пусть D - предполагаемая точка. Тогда проведём прямую BD до пересечения с окружностью в новой точке E и попробуем понять что-то интересное об этой прямой... Быть может, связать это с С и с тем, что М - середина BC, ведь не зря нам даны эти условия?

Подсказка 3

Попробуем доказать, что все прямые MP проходят через D - середину отрезка на перпендикуляре, восстановленном в B к AB и проведенного до пересечения с окружностью. Для этого проведем всё то, что указано в подсказке 2, с помощью вписанности, параллельности и не забывая о том, что M - середина BC, докажем, что D лежит на MP!

Подсказка 1

Вспомним свойства высот! Что можно сказать про четырехугольники AMKC и BCML?

Подсказка 2

Верно, они вписанные! Тогда, отметим уголочки в этих четырехугольниках! А что можно сказать про ∠ACB (если мы знаем, что угол между прямыми равен углу, между перпендикулярами к этим прямым)?

Подсказка 3

Да, он равен ∠AHL! Так как, P – середина AH, то LP – медиана в треугольнике ALH, который является прямоугольным. А медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из прямого угла – разбивает исходный треугольник на два равнобедренных! Тогда что можно сказать про четырехугольник TSML?

Подсказка 4

Конечно, он вписанный! То есть, ∠TSL=∠TML (опираются на дугу TL) ⇒ ∠TSL=∠AHL! ⇒ TS параллельна высоте AK.