Тема Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Планиметрия на Всесибе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119870

В остроугольном треугольнике $ABC$ с углом $60∘$ при вершине $B,$ обозначим за $O$ центр описанной окружности, за $H$ — точку пересечения высот. Прямая $OH$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Доказать, что треугольник $KBM$ — равносторонний.

Источники: Всесиб-2025, 11.3(см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Попробуйте обозначить через R радиус описанной окружности треугольника, а углы через α, β, γ. Как отрезок BH выражается через эти параметры? А если учесть, что бета равно 60°?

Подсказка 2:

Итак, кажется, вы получили, что треугольник BHO равнобедренный. Было бы здорово, если бы его биссектриса из точки B оказалась биссектрисой и в KBM.

Подсказка 3:

Если на этом этапе возникли трудности, вспомните (или изучите) свойства ортоцентра, это поможет :)

Показать доказательство

$PIC$

В равнобедренном треугольнике $△AOC$ угол $∠AOC$ является центральным в описанной окружности треугольник $△ABC,$ поэтому он вдвое больше соответствующего ему вписанного угла $∠ABC = 60∘,$ значит, его величина равна $120∘.$ Тогда угол $∠OAC$ при его основании равен $30∘,$ следовательно, расстояние от $O$ до стороны $AC$ равно половине радиуса описанной окружности $(ABC ).$ Хорошо известно, что это расстояние в произвольном треугольнике равно половине длины отрезка $BH,$ следовательно, длина $BH$ равна радиусу описанной окружности $(ABC),$ поэтому треугольник $△OBH$ — равнобедренный и его биссектриса из вершины $B$ является его высотой.

В равнобедренном треугольнике $△AOB$ угол при его вершине $O$ равен удвоенному углу $BCA,$ поэтому угол при его основании $∠ABO$ равен углу $90∘− ∠BCA.$ С другой стороны, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой из $B$ и стороной $BC,$ угол $CBH$ тоже равен $90∘ − ∠BCA.$ Следовательно, в треугольнике $△KBM$ его высота из $B$ является и биссектрисой его угла $∠KBM.$ Таким образом, треугольник $△KBM$ — равнобедренный с углом $60∘$ при вершине, то есть равносторонний, что и требовалось доказать.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#126310

Отрезок $AB$ точками $P$ и $M$ разбит на три отрезка $AP,$ $PM$ и $MB,$ из которых можно составить треугольник. Найти все точки $X,$ лежащие внутри отрезка $P M$ для произвольного такого разбиения.

Источники: Всесиб - 2025, 10.1 ( см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите, что нам дано в задаче, например, как воспользоваться условием о том, что из отрезков можно составить треугольник?

Подсказка 2

Это означает, что отрезки удовлетворяют неравенству треугольника. Попробуйте понять, где будет лежать точка M на отрезке AB.

Подсказка 3

Из неравенства треугольника AP + PM > MB, но тогда AP + PM > AB/2, следовательно, точка M всегда лежит правее отрезка AB.

Подсказка 4

Проведите аналогичные рассуждения для точки P.

Подсказка 5

Выходит, что середина отрезка AB всегда лежит между точками P и M. А найдутся ли другие?

Подсказка 6

Возьмем точку X, отличную от центра (обозначим его за O). Пусть X лежит между O и A. Может стоит взять какую-нибудь "хорошую" точку за P?

Подсказка 7

Пусть P — середина OX, а M — точка, симметричная P относительно O.

Подсказка 8

Попробуйте через неравенство треугольника доказать, что точка X не лежит на отрезке PM.

Показать ответ и решение

$PIC$

По неравенству треугольника

AP + PM > MB

Поэтому

1 AP +PM > 2AB

Следовательно, точка $M$ всегда лежит правее середины отрезка $AB.$ Аналогично, $PM + MB > AP.$ Поэтому

PM +MB > 1AB 2

Следовательно, точка $P$ всегда лежит левее середины отрезка $AB.$ Значит, середина $O$ отрезка $AB$ всегда лежит строго между точками $P$ и $M,$ то есть лежит внутри отрезка $PM$ для любого разбиения $AB$ точками $P$ и $M$ из условия.

Докажем, что больше таких точек нет. Рассмотрим произвольную внутреннюю точку $X$ отрезка $AB,$ отличную от $O.$ Не умаляя общности будем считать, что $X$ лежит между $A$ и $O.$ Обозначим за $P$ середину отрезка $OX,$ а за $M$ — точку, симметричную $P$ относительно $O.$ Тогда

1 PM < 2AB

AP =MB

AP +MB > 1AB 2

Следовательно,

AP + MB > PM

Значит, из отрезков $AP,$ $PM$ и $MB$ можно составить равнобедренный треугольник, и мы построили «треугольное» разбиение $AB,$ в котором точка $X$ не лежит в отрезке $PM.$

Другой способ выбора точек $P$ и $M$ для $X:$ за $P$ возьмём середину $OX,$ за $M$ — середину $PB.$ Тогда

P M = MB

PM +MB > 1AB 2

PM +MB >AP

Следовательно, из отрезков $AP,$ $PM$ и $MB$ можно составить равнобедренный треугольник. Тогда мы построили «треугольное» разбиение $AB,$ в котором точка $X$ не лежит на отрезке $P M.$

Ответ:

Середина отрезка $AB$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#126312

В равнобедренном треугольнике с основанием $AC$ и углом $ABC =20∘$ при вершине $B,$ на стороне $AB$ отмечена точка $H$ такая, что угол $∘ AHC = 30 .$ Доказать $AC = BH.$

Источники: Всесиб - 2025, 10.3 ( см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А давайте попробуем просто всё посчитать. :)

Подсказка 2

Начнём с углов. Особенно интересны нам ∠BAC, ∠BHC и ∠BCH.

Подсказка 3

Попробуйте применить теорему синусов к треугольнику ABC.

Подсказка 4

А если вновь применить теорему синусов, но уже к треугольнику HBC?

Показать доказательство

Первое решение

Построим серединный перпендикуляр к отрезку $CH,$ обозначим за $M$ и $K$ точки его пересечения со сторонами $BC$ и $AB$ соответственно.

$PIC$

Треугольник $HMC$ — равнобедренный с углами $∘ ∠MHC =∠MCH = 10$ при основании $HC,$ поэтому отрезки $MH$ и $MC$ равны как его боковые стороны.

В треугольнике $MHB$

∠BHM =∠BHC − ∠MHC = 150∘− 10∘ = 140∘

Кроме того,

∘ ∠HBM =20 = ∠BMH

Следовательно, треугольник $MHB$ — равнобедренный с боковыми сторонами $BH$ и $HM.$ Получаем, что $BH = HM = MC.$ Теперь посмотрим на равнобедренный треугольник $CHK$ с $∠HCK = ∠CHK =30∘.$ Следовательно,

∠MCK = ∠MCH +∠MCK = 30∘+ 10∘ =40∘

Заметим, что

∘ ∘ ∘ ∠KCA = ∠ACB − ∠MCK = 80 − 40 = 40

Тогда $CK$ — биссектриса угла $BCA.$

∠KMC = 1⋅∠CMH = 80∘ = ∠KAC 2

Треугольники $KMC$ и $KAC$ равны по общей стороне $KC$ и по 2 углам $∠KMC = ∠KAC,$ $∠KCA = ∠MCK.$ Тогда $MC =AC.$

Получаем, что

BH =HM = MC = AC

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение

$PIC$

Повернём треугольник $ABC$ вокруг точки $B$ по часовой стрелке на $20∘,$ чтобы сторона $AC$ совместилась со стороной $AB.$ Образ точки $H$ при этом повороте обозначим за $F.$ Затем зеркально отразим треугольник $ABC$ относительно стороны $BC,$ образ точки $H$ при этом отражении обозначим за $G.$

∘ ∘ ∘ ∠F AC =∠F AB +∠BAC = 10 + 80 = 90

∠GCA =∠GCB +∠BCA = 10∘+ 80∘ =90∘

F A= CH = GC

Тогда четырехугольник $AFGC$ является прямоугольником и $FG = AC.$

В треугольнике $BFG$ по построению $BF =BH = BG,$ а также

∘ ∘ ∘ ∠F BG =∠F BA +∠ABG =∠ABC + ∠ABG = 20 + 40 = 60

Следовательно, треугольник $BF G$ — равнобедренный с углом $60∘$ при вершине, а значит, он является равносторонним. Тогда

AC = FG =F B = HB

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение

$PIC$

180∘−-20∘ ∘ ∠BAC = 2 = 80

∠BHC = 180∘− 30∘ =150∘

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BCH =180 − 20 − 150 =10

По теореме синусов для треугольника $ABC$

--AC-- = -BC--- sin(20∘) sin(80∘)

По теореме синусов для треугольника $HBC$

--BH∘-= --BC-∘- =--BC-∘ = sin(10 ) sin(150) sin(30 )

Тогда

AC = BC-⋅sin(20∘)= BH ⋅ sin(30∘)⋅sin(20∘) =BH ⋅----sin(20∘)---- =BH ⋅ sin(20∘)= BH sin(80∘) sin(10∘)⋅sin(80∘) 2 ⋅sin(10∘)⋅cos(10∘) sin(20∘)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80747

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ и продолжение стороны $DC$ за точку $C$ в точках $K$ и $M$ соответственно, как показано на рисунке:

$PIC$

Доказать, что центр описанной окружности треугольника $KCM$ лежит на описанной окружности треугольника $BCD$ .

Источники: Всесиб-2024, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда в параллелограмме проведена биссектриса, так и хочется поискать равнобедренные треугольники. Видно, что △KCM — равнобедренный. С чем тогда хочется соединить центр О описанной окружности △KCM?

Подсказка 2

Верно, с точкой C! Тогда OC будет серединным перпендикуляром к KM. Но ведь не любая точка на нём будет центром окружности, поэтому надо как-то еще попользоваться ей. Предлагаю отметить, что OK=OC. А как нам подобраться к описанной окружности △BCD?

Подсказка 3

Можно попытаться доказать, что уголочки ∠OBC и ∠ODC равны. Какие у нас есть для этого инструменты? В самом удачном случае мы просто найдем равные треугольнички... У нас уже есть равенство отрезков OK и OC, поэтому можно попытаться установить равенство △BOK и △DOC...

Подсказка 4

Равенство сторон BK и DC следует из равнобедренности △ABK. Осталось лишь показать, что уголки ∠BKO и ∠DCO равны. Посмотрите на смежные им уголки и завершите решение!

Показать доказательство

Так как $AK$ — биссектриса, то $∠BAK = ∠DAK = α$ . В силу параллельности $BC ||AD$ и $AB ||CD$ также $∠BKA =∠KMC = α$ .

Пусть $O$ — центр окружности, описанной около $MCK$ . Тогда $OC ⊥ KM$ , так как $MCK$ — равнобедренный треугольник. Откуда $∘ ∠MCO = ∠KCO = 90 − α$ .

$PIC$

Также равнобедренными будут треугольники $KOC$ ( $KO =OC$ как радиусы) и $ABK$ (углы $∠BAK$ и $∠BKA$ равны по вышесказанному). Значит,

∠BKO = 180∘ − ∠OKC = 180∘− ∠MCO =∠OCD

Тогда $△BKO = △DCO$ по двум сторонам и углу между ними, потому что $BK =AB = CD$ , радиусы $OK =OC$ , а углы $∠BKO = ∠OCB.$

Следовательно, $∠OBC = ∠ODC$ и тогда точки $O,B,C,D$ лежат на одной окружности.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#68020

В треугольнике $ABC$ биссектрисы углов $∠BAC$ и $∠BCA$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $K$ и $P$ соответственно. Известно, что длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AP$ и $CK.$ Найдите величину угла $∠ABC.$

Источники: Всесиб-2023, 11.1 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз у нас есть условие на то, что сторона AC равна сумме отрезок, то давайте разобьем нашу сторону как раз на две части, каждая из которых будет равна одному из отрезков в условии) Причем т.к. у нас тут биссектрисы, то удобно будет сделать так, чтобы равные отрезки прилегали к одной вершине. Разделим так нашу сторону точкой D. Что можно заметить на картинке теперь?

Подсказка 2

Пусть биссектрисы пересекаются в точке I. Тогда треугольники API и ADI равны! Тоже можно сказать про ICK и IDC. А дальше остается просто счет уголков)

Показать ответ и решение

Первое решение (счетное).

$PIC$

Давайте будет пользоваться свойством биссектрисы:

AP AC PB-= BC-

KC AC KB- = AB.

Тогда:

AP =---AC---⋅AB AC + BC

KC = ---AC-- ⋅BC. AC + AB

Теперь подставим это в $AC =AP + CK :$

--AC---- --AC--- AC = AC +BC ⋅AB + AC +AB ⋅BC

AB BC 1= AC-+BC-+ AC-+-AB

Домножим на знаменатели:

AC2+ AC (BC + AB)+ BC ⋅AB = AB ⋅AC +AB2 + BC ⋅AC + BC2

AC2 = AB2+ BC2 − BC ⋅AB.

Тогда из теоремы косинусов для треугольника $ABC$ следует, что $2cos∠ABC = 1.$ Отсюда получаем ответ.
Второе решение (более идейное).

$PIC$

Отметим точку $D$ на отрезке $AC,$ такую что $DC = KC.$ Тогда из условия следует, что $AD = AP.$ Заметим, что треугольники $AP I,ADI$ равны по двум сторонам и углу между ними. Аналогично равны треугольники $IKC,IDC.$ Из этого следует:

∘ ∠C- ∠ADI = ∠API =∠AP C =180 − ∠A− 2

∠A ∠CDI =∠IKC =∠AKC =180∘− ∠C− -2-.

Теперь воспользуемся тем, что $∠ADI + ∠CDI =180∘ :$

360∘− 3(∠A+ ∠C)= 180∘ 2

∠A + ∠C = 120∘.

Тогда по теореме о сумме углов:

∠ABC =180− (∠A + ∠C)= 60∘.

Ответ:

$60∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#71447

Пусть $H$ — точка пересечения высот остроугольного треугольника $ABC,$ точка $M$ — середина стороны $AC.$ На стороне $AB$ выбрана точка $K$ такая, что прямая $BH$ делит отрезок $CK$ пополам. Доказать, что отрезки $MH$ и $CK$ перпендикулярны.

Источники: Всесиб-2022, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть прямая BH, которая делит отрезок пополам...чем-то напоминает медиану в треугольнике, с которой можно выполнить полезное дополнительное построение. Какое?

Подсказка 2

Удвоим отрезок BP, отметив новую точку T, после чего у нас появится параллелограмм. Теперь мы можем посчитать в нем уголки. Вернемся к условию. Чем являются MN и KP для треугольников на рисунке? На чертеже много прямых и равных углов, быть может, стоит попробовать найти подобие?

Подсказка 3

Заметим, что MH и CP это медианы треугольников BCT и AHC, в которых есть перпендикулярные стороны. Что же осталось доказать?)

Показать доказательство

$PIC$

Обозначим точку пересечения отрезков $CK$ и $BH$ за $P.$ Отметим на луче $BH$ точку $T$ такую, что $P$ является серединой отрезка $BT.$

Диагонали $BT$ и $CK$ четырёхугольника $BCT K$ делятся точкой пересечения $P$ пополам, поэтому он является параллелограммом, его стороны $BK$ и $CT$ параллельны и $∠CT B =∠KBT,$ то есть $90∘− ∠A,$ а $∠CBT = 90∘− ∠C.$

В треугольнике $AHC$ $∠HAC =90∘− ∠C,$ $∠HCA =90∘− ∠A,$ следовательно, треугольники $AHC$ и $BCT$ подобны. Их соответствующие стороны $AC$ и $BT$ перпендикулярны, а отрезки $MH$ и $CP$ являются медианами этих треугольников, проведёнными к соответствующим сторонам, поэтому тоже перпендикулярны.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31985

Пусть $P$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$ прямоугольного треугольника $ABC$ на его гипотенузу $BC$ , a $M$ — середина отрезка $CP$ . Обозначим через $E$ точку на продолжении стороны $AB$ за точку $B$ такую, что $AB = BE$ . Докажите, что прямые $EP$ и $AM$ перпендикулярны.

Источники: Всесиб-2021, 9.3 (см. sesc.nsu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка, симметричная $A$ относительно $M,$ тогда четырехугольник $ACKP$ является параллелограммом, поскольку $M$ делит пополам каждую из его диагоналей, следовательно, прямая $KP$ параллельна прямой $CA,$ а значит перпендикулярна прямой $AE.$

С другой стороны, $BM$ является средней линией в треугольнике $EAK,$ поэтому $EK$ параллельна $BM,$ т.е. перпендикулярна прямой $AP.$

$PIC$

Таким образом, точка $P$ является ортоцентром в треугольнике $EAK,$ а значит прямая $EP$ перпендикулярна $AM.$

Ответ:

что и требовалось доказать

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#92433

На сторонах $AB,BC,CD$ и $DA$ квадрата $ABCD$ соответственно отмечены точки $P,Q,R,S$ , отличные от вершин. Известно, что длина стороны квадрата равна 1. Доказать, что выполнены неравенства:

2 2 2 2 2≤ PQ +QR +RS +SP < 4.

Источники: Всесиб - 2021, 11.1 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть картинка, где абсолютно случайно, независимо друг от друга, выбирается 4 точки на разных сторонах квадрата. Это значит как минимум то, что либо нам надо будет объединить все слагаемые в полученной сумме (пока непонятно какой, но точно выражающей сумму из условия) в одно слагаемое, которое зависит только от стороны квадрата, либо нам надо оценивать каждое слагаемое по отдельности. Выразите каждое слагаемое из условия и попробуйте применить рассуждения выше.

Подсказка 2

Верно, можно сгруппировать наши слагаемые по частям стороны. Тогда каждая пара слагаемых будет иметь вид x² + (1 - x)². Как тогда получить оценку на каждое слагаемое, а значит, по соображениям из первой подсказки, и на всю сумму?

Показать доказательство

$PIC$

По теореме Пифагора

PS2 = AP2 +SA2

P Q2 = BP2 +BR2

2 2 2 QR = CQ +CR

2 2 2 RS = DR +DS

Сложим эти равенства и перегруппируем результат в виде:

PQ2 + QR2+ RS2+ PS2 =

( ) ( ) ( ) ( ) AP 2+P B2 + BQ2 + QC2 + CR2 + RD2 + DS2 + SA2

Каждое из выражений в скобках имеет вид $2 2 2 f(x)= x +(1− x) =2x − 2x+ 1$ для некоторого $0< x< 1$ и заключено в пределах от $(1) 1 f 2 =2$ включительно до $f(1)= 1$ невключительно. Следовательно, сумма $PQ2 + QR2+ RS2+ SP2$ заключена от $(1) 4f 2 = 2$ включительно до $4f(1)= 4$ невключительно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92434

Доказать, что четыре перпендикуляра, опущенных из середин сторон произвольного вписанного четырёхугольника на его противоположные стороны, пересекаются в одной точке.

Источники: Всесиб - 2021, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если умеете считать в комплексных координатах, эта задача у вас много времени не займёт. Если не умеете, смотрите следующие подсказки)

Подсказка 2:

Пусть Q, R, S, P — середины отрезков BC, CD, DA, AB, а QL и SM — перпендикуляры на AD и BC. Пусть они пересекаются в точке V, а O — центр описанной окружности. Что можно сказать про четырехугольник QOSV?

Подсказка 2:

Правильно, он параллелограмм. Значит, точки O и V симметричны относительно середины QS — средней линии ABCD. То же самое можно сказать про вторую пару перпендикуляров и другую среднюю линию. А нет ли у этих средних линий чего-то общего?

Подсказка 3:

Когда в задаче идёт речь о серединах сторон четырёхугольника, нельзя не вспомнить про теорему Вариньона. Если не знаете её, то сначала изучите, а потом вернитесь к последнему вопросу из предыдущей подсказки)

Показать доказательство

Обозначим вершины произвольного вписанного в окружность четырёхугольника за $A,B,C$ и $D,$ центр окружности за $O,$ середины сторон $AB,BC,CD$ и $DA$ за $P,Q,R$ и $S$ соответственно.

$PIC$

Отрезки $OQ$ и $OS$ являются серединными перпендикулярами к сторонам $BC$ и $AD,$ поэтому они параллельны перпендикулярам $SM$ и $QL,$ опущенным на эти стороны из середин противоположных сторон четырёхугольника. Обозначим точку пересечения этих перпендикуляров за $V,$ из параллельности отрезков $OQ$ и $SV,$ а также $OS$ и $QV$ следует, что четырёхугольник $OSV Q$ является параллелограммом. Следовательно, его диагонали $SQ$ и $OV$ пересекаются в точке $X,$ делящей их пополам. Диагональ $SQ$ при этом является средней линией четырёхугольника $ABCD,$ поэтому точка $V$ пересечения перпендикуляров $QL$ и $SM,$ опущенных из середин сторон $BC$ и $AD$ на противоположные стороны четырёхугольника, симметрична центру $O$ описанной окружности относительно середины $X$ отрезка $SQ,$ соединяющего середины сторон $BC$ и $AD.$

Аналогично доказывается, что точка $W$ пересечения перпендикуляров, опущенных из середин сторон $AB$ и $CD$ на противоположные стороны четырёхугольника, симметрична центру О описанной окружности относительно середины отрезка $PR,$ соединяющего середины сторон $AB$ и $CD.$ Четырёхугольник $PQRS,$ образованный серединами сторон произвольного четырёхугольника $ABCD,$ образуют параллелограмм (Вариньона), стороны которого параллельны диагоналям $AC$ и $BD$ и равны их половинам.

$PIC$

Следовательно, отрезки $PR$ и $QS,$ являющиеся диагоналями параллелограмма $P QRS,$ делятся точкой их пересечения пополам, поэтому их середины совпадают. Значит, совпадают и точки $W$ и $V,$ симметричные центру $O$ относительно этих середин.

Таким образом, все четыре перпендикуляра, опущенных из середин сторон вписанного четырёхугольника $ABCD,$ пересекаются в точке $V = W$ , симметричной центру $O$ описанной окружности относительно точки пересечения средних линий $P R$ и $QS$ этого четырёхугольника.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#108046

Пусть точки $O$ и $I$ — центр описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ соответственно. Известно, что угол $AIO$ прямой, а величина угла $CIO$ равна $∘ 45$ . Найти отношение сторон $AB :BC :CA.$

Источники: Всесиб-2020, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте начнем "раскручивать задачу" от условия. Как воспользоваться данными углами? Какие свойства есть у центра вписанной окружности?

Подсказка 2

Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис! Отсюда несложно найти угол B ;) А что мы знаем тогда про точку O?

Подсказка 3

Точка O — середина гипотенузы AC! Так, кажется, что тогда мы можем найти немало симметрий или равенств на картинке) Давайте попробуем пересечь AI с BC.

Подсказка 4

Итак, если пересечь AI и CB, то можно найти равные треугольники с общей стороной. Возникает желание так же провести OI до пересечения с AB ;)

Подсказка 5

Здорово, теперь у нас появилось сразу несколько пар равных треугольников! Также появились равнобедренные прямоугольные треугольники) Давайте попробуем построить ещё — отметим середину M у AI!

Подсказка 6

Теперь мы можем выразить отрезок AK через LI! Давайте вернёмся к условию задачи. Мы знаем, что треугольник прямоугольный, то есть нам достаточно найти выразить две стороны друг через друга, а третью найти несложно. Поэтому имеет смысл попытаться выразить стороны AB и BC через AC ;)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Величина угла $AIC$ равна $∘ A+C- ∘ B- ∘ 180 − 2 = 90 + 2 > 90$ . Если бы луч $IO$ лежал бы вне угла $AIC,$ величина угла $AIO$ равнялась бы сумме величин $AIC$ и $CIO$ и была бы больше $90$ градусов, что противоречит условию. Следовательно, луч $IO$ лежит внутри угла $AIC,$ поэтому величина угла $AIC$ равна сумме величин углов $AIO$ и $CIO,$ то есть $135$ градусам. Значит, угол $ABC$ — прямой и треугольник $ABC$ является прямоугольным с гипотенузой AC , а точка O середина стороны AC.

Обозначим точку пересечения биссектрисы $AI$ со стороной $BC$ за $K.$ Углы $CIO$ и $CIK$ равны $45,$ следовательно, прямые $IO$ и $IK$ симметричны относительно биссектрисы $CI,$ то же самое верно и для прямых $CA$ и $CB.$ Значит, треугольники $CIO$ и $CIK$ равны и точки $O$ и $K$ симметричны относительно $CI,$ а треугольник $OIK$ прямоугольный равнобедренный.

Продлим отрезок $OI$ до пересечения со стороной $AB$ в точке $L,$ симметричной $O$ относительно биссектрисы $AI.$ Обозначим за $M$ середину отрезка $AI,$ по теореме обратной теореме Фалеса отрезки $OM$ и $CI$ параллельны, следовательно угол $IOM$ равен углу $OIC,$ то есть $45$ градусам. Значит, треугольник $OIM$ — прямоугольный равнобедренный и равен треугольникам $OIK$ и $KIL.$ Отсюда следует, что точки $I$ и $M$ делят отрезок $AK$ на три одинаковых части.

$PIC$

Опустим из точки $I$ перпендикуляры $IP$ и $IQ$ на стороны $BC$ и $AB$ соответственно, точки $P$ и $Q$ являются точками касания этих сторон со вписанной окружностью, четырёхугольник $PIQB$ является квадратом. Углы $KIL$ и $PIQ$ прямые, значит, углы $PIK$ и $QIL$ равны, отсюда следует равенство прямоугольных треугольников $PIK$ и $QIL.$ По теореме Фалеса длина $KP = QL$ равна половине длины $BP =BQ,$ а длина $AQ$ вдвое больше длины $BQ = BP.$

Следовательно, длина стороны $AB$ равна $6 6 3 AL +LB = 5AL = 5AO = 5AC.$ Из теоремы Пифагора $4 BC = 5AC.$ Следовательно, $AB :BC :CA = 3:4:5.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пункт 1, точки $M, P,Q$ те же, что как в первом решении, четырёхугольник $PIQB$ является квадратом.

$PIC$

В прямоугольном треугольнике $AIO$ катет $AI$ вдвое больше катета $OI.$ Считаем длину $OI$ равной единице, тогда площадь треугольника $AIO$ равна $1,$ длина гипотенузы АО равна $√5$ , а высота из вершины $I$ равна $√2 5$ . Эта высота и отрезки $IP$ и $IQ$ равны, как радиусы вписанной окружности, поэтому

∘ ----- ∘--2----2 4 -4- AQ = AI − IQ = 4− 5 = √ 5

Следовательно,

AB =AQ + QB = 4√-+ √2-= √6- 5 5 5

AB :AC =AB :2⋅AO = √6-:2√5= 3:5 5

Из теоремы Пифагора $BC :AC =4 :5$ , откуда

AB :BC :CA = 3:4 :5

Ответ: 3 : 4 : 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31357

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AD = BC$ и $∠ADB +∠ACB =∠CAB+$ $∠DBA =30∘$ . Докажите, что из отрезков $DB, CA$ и $DC$ можно составить прямоугольный треугольник.

Источники: Всесиб-2019, 8.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы такое доказать, здорово было бы на картинке действительно из этих отрезков отложенных где-то сложить прямоугольный треугольник. Давайте попробуем отметить его вершину и доказать, что это будет она!

Подсказка 2

Попробуем для начала посчитать имеющиеся углы - какие выводы можно сделать из условий на углы в задаче? Попробуйте посчитать сумму ADC и DCB, а затем и DAB и ABC.

Подсказка 3

Попробуйте пользуясь этими знаниями понять, где должна располагаться точка - вершина прямоугольного треугольника, который мы желаем построить. Для этого полезно пойти с конца - представим, что уже получилось отметить такую точку Х, что образовался прямоугольный треугольник DCX со сторонами равными DC, CA, DB. Нарисуйте такую картинку и попробуйте сделать выводы о точке Х - это поможет угадать, как ее построить!

Показать доказательство

Для начала заметим, что

∠ADC + ∠DCB = ∠ADB + ∠BDC + ∠ACD + ∠ACB =

= 30∘+∠BDC +∠ACD =30∘+ ∠CAB + ∠ABD

так как треугольники $AOB$ и $DOC$ имеют по равному углу (вертикальные), то из суммы углов в треугольнике получаем

30∘+ ∠CAB + ∠ABD = 30∘+30∘ = 60∘

Значит, $∠DAB + ∠ABC = 300∘.$

Построим точку $X$ вовне четырёхугольника $ABCD$ такую, что $ABX$ равносторонний.

$PIC$

Теперь заметим, что

∘ ∠DAX = 360 − ∠XAB − ∠DAB =

= 300∘− ∠DAB = ∠ABC

∠XBC = 360∘− ∠XBA − ∠ABC =

= 300∘− ∠ABC = ∠DAB

Но тогда равны треугольники $XAD$ и $ABC$ , откуда $AC = DX;DAB$ и $XBC$ , откуда $BD = XC$ . Кроме того,

∠DXC = ∠DXA + ∠AXB + ∠BXC =

= ∠BAC + 60∘+∠ABD = 60∘+ 30∘ = 90∘.

Значит, треугольник $XDC −$ искомый.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#49001

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина гипотенузы $BC$ , а точки $P$ и $T$ делят катеты $AB$ и $AC$ в отношении $AP :PB = AT :TC = 1:2.$ Обозначим за $K$ точку пересечения отрезков $BT$ и $PM$ , за $E$ – точку пересечения отрезков $CP$ и $MT$ , и за $O$ — точку пересечения отрезков $CP$ и $BT.$ Доказать, что четырёхугольник $OKME$ вписанный.

Источники: Всесиб-2019, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, нам нужно доказать вписанность четырехугольника. Либо это нужно делать доказательством равенства некоторых отношений, либо через углы(которые являются следствием подобия). Если предположить, что мы будем доказывать через углы, то наиболее оптимальными кажутся углы OME и OKE. С углом OME пока не понятно, куда его перекинуть, а вот угол OKE кажется более интересным.

Подсказка 2

Посмотрим на отрезок PT. В силу отношений из условия, по обратной теореме Фалеса, PT || BC. А какие еще подобия, из-за этой параллельности, вы видите на картинке?

Подсказка 3

На картинке есть две пары подобных треугольников: (PET и CEM) и (PKT и BKM). Отсюда вытекают подобия TE/EM=PT/CM, PT/BM=PK/KM и , в силу CM=BM, по обратной теореме Фалеса, получаем, что углы OKE и OBC равны. А вот и получилось перекинуть угол OKE. Остался только вопрос, какому еще углу равен угол OME? Сразу не видно, но кажется, что такого угла нет на картинке. А как его получить, если воспользоваться симметрией треугольника AMC(он равнобедренный) и тем, что AT/2=ТC?

Подсказка 4

Можно соединить М c серединой TC(пусть это точка D). Тогда, в силу симметрии, так как AT=DC, то углы OME и DMC равны. А куда теперь можно перекинуть угол DMC, если MD соединяет середины сторон ВС и TC?

Подсказка 5

В силу того, что MD-cредняя линия, угол DMC и угол TBC равны. То есть осталось доказать, что угол TBC равен углу OKE , и задача решена!(параллельность такая: бзззз)

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $AP :PB = AT :TC = 1:2$ , то $PT ∥BC$ по обратной теореме Фалеса, тогда из подобия треугольников $PT :BC = 1:3.$

Так как из подобия соответствующих треугольников $TE- PT- EM = CM$ и $PT- PK- BM = KM$ , то с учётом $CM =BM$ по обратной теореме Фалеса получаем $KE ∥BC$ и $∠OKE = ∠OBC.$

Теперь обозначим середину $TC$ как $D$ . Тогда $MD ∥BT$ как средняя линия и $∠OKE = ∠OBC = ∠DMC$ . Так как $AMC$ равнобедренный и $AC- TC- AT = 3 = 2 =DC$ , то $∠AMT = ∠MDC =∠OKE$ , что означает вписанность четырёхугольника $OKME.$

Ответ:

что и требовалось доказать

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#49004

Пусть $A$ и $B$ — две различные фиксированные точки окружности, $C$ — произвольная точка этой окружности, отличная от $A$ и $B$ , $MP$ — перпендикуляр, опущенный из середины $M$ хорды $BC$ к хорде $AC.$ Доказать, что прямые $PM$ при любом выборе $C$ проходят через некоторую общую точку $T.$

Источники: Всесиб-2018, 11.5 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если на одной и той же окружности при фиксированных A и B проделать указанные действия с разными C, можно попробовать угадать, в каком примерно месте находится общая точка :) Т.к. фиксированные именно A и B, попробуем как-то связать их с общей точкой.

Подсказка 2

Пусть D - предполагаемая точка. Тогда проведём прямую BD до пересечения с окружностью в новой точке E и попробуем понять что-то интересное об этой прямой... Быть может, связать это с С и с тем, что М - середина BC, ведь не зря нам даны эти условия?

Подсказка 3

Попробуем доказать, что все прямые MP проходят через D - середину отрезка на перпендикуляре, восстановленном в B к AB и проведенного до пересечения с окружностью. Для этого проведем всё то, что указано в подсказке 2, с помощью вписанности, параллельности и не забывая о том, что M - середина BC, докажем, что D лежит на MP!

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем перпендикуляр $EB$ к $AB$ так, чтобы $E$ лежало на окружности и отметим середину $EB$ как $D$ . Тогда (так как $BECA$ вписанный по построению) $∘ ∠ECA = 90$ . $DM$ — средняя линия треугольника $BEC$ и поэтому $DM ∥EC$ . Пусть $DM$ пересекает $AC$ в точке $′ P$ . Так как $DP ∥EC$ , то $′ MP ⊥AC$ , и значит, точки $P$ и $′ P$ совпадают.

Итак, независимо от выбора точки $C$ на окружности описанная в условии прямая $MP$ проходит через фиксированную точку $D$ - середину отрезка на восставленном из точки $B$ перпендикуляре, продолженном до пересечения с окружностью.

Ответ:

что и требовалось доказать

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#49006

В треугольнике $ABC$ отрезки $AK,BL$ и $CM$ – высоты, $H$ – их точка пересечения, $S$ – точка пересечения $MK$ и $BL$ , $P$ — середина отрезка $AH$ , $T$ — точка пересечения прямой $LP$ и стороны $AB.$ Доказать, что прямая $ST$ перпендикулярна стороне $BC.$

Источники: Всесиб-2016, 11.4 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним свойства высот! Что можно сказать про четырехугольники AMKC и BCML?

Подсказка 2

Верно, они вписанные! Тогда, отметим уголочки в этих четырехугольниках! А что можно сказать про ∠ACB (если мы знаем, что угол между прямыми равен углу, между перпендикулярами к этим прямым)?

Подсказка 3

Да, он равен ∠AHL! Так как, P – середина AH, то LP – медиана в треугольнике ALH, который является прямоугольным. А медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из прямого угла – разбивает исходный треугольник на два равнобедренных! Тогда что можно сказать про четырехугольник TSML?

Подсказка 4

Конечно, он вписанный! То есть, ∠TSL=∠TML (опираются на дугу TL) ⇒ ∠TSL=∠AHL! ⇒ TS параллельна высоте AK.

Показать ответ и решение

$PIC$

Первое решение.

Обозначим $α =∠ACB.$ От проведения высот нам понадобятся следующие результаты:

(1) ∠TML = α (из вписанности BCML )

∘ (2) ∠AMK =180 − α (из вписанности AMKC )

Также известно, что угол между прямыми равен углу между перпендикулярами к этим прямым, так что

α =∠(AC,CB )= ∠(BL,AK )= ∠AHL

По условию $LP$ — медиана в прямоугольном треугольнике $ALH$ , поэтому

(3) ∠PLH = ∠PHL = α

Из $(2)$ и $(3)$ следует, что в четырехугольнике $TMSL$ противоположные углы в сумме дают $180∘,$ значит, он вписанный. А вписанные углы, опирающиеся на дугу $TL$ равны:

∠TSL = ∠TML = α

Получаем, что соответственные углы $TSL$ и $AHL$ равны, поэтому прямая $TS$ параллельна высоте $AK$ , так что тоже перпендикулярна стороне $BC$ , что и требовалось.

Второе решение.

Так как $∘ ∠AMC = ∠AKC = 90$ , то четырёхугольник $AMKC$ — вписанный. Значит, $∘ ∠AMK = 180 − ∠BCA$ . Так как $AK$ и $BL$ высоты, то $∠AHL = 90∘− ∠CAK = ∠BCA$ .

По условию $LP$ — медиана в прямоугольном треугольнике $ALH$ , поэтому $∠P LH =∠P HL = ∠AHL = ∠ACB = 180∘− ∠AMK.$ Отсюда следует, что четырехугольник $T MSL$ вписанный.

Отсюда $∠TSL =∠T ML$ . Мы знаем, что $∠BMC = ∠BLC = 90∘$ , поэтому четырехугольник $BMLC$ вписанный. Значит $∠AML = ∠BCA = ∠TSL.$

$PIC$

Тогда $∠DEC = 180∘− ∠ACB − ∠SDL = 180∘− ∠ACB − (90∘− ∠TSL)= 90∘.$

Ответ:

что и требовалось доказать

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#88296

Две окружности пересекаются в точках $P$ и $M$ . На первой окружности выбрана произвольная точка $A$ , отличная от $P$ и $M$ и лежащая внутри второй окружности, лучи $P A$ и $MA$ вторично пересекают вторую окружность в точках $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через $A$ и центр первой окружности, перпендикулярна $BC$ .

Источники: Всесиб - 2016, 10.4 (переформулировка задачи 9 класса с Региона ВсОШ-1998) (см. sesc.nsu.ru)

Показать доказательство

Пусть $O$ — центр первой окружности, $H ,H 1 2$ — проекции точки $A$ на прямые $CB$ и $PM$ соотвественно. Тогда достаточно доказать, что точки $O,A,H1$ лежат на одной прямой. Для этого покажем, что $∠OAM = ∠CAH1$ .

$PIC$

Действительно, $∠MP B = ∠MCB$ , в силу вписанности четырехугольника $PMBC$ , тогда треугольники $AP H2$ и $ACH1$ подобны по двум углам, следовательно, $∠CAH1 =∠P AH2$ .

Наконец, прямые, проведенные из вершины треугольника и соотвественно ортоцентр и центр описанной окружности симметричны относительно биссектрисы треугольника, проведенной из сооствествующей вершины, то есть $∠P AH2 = ∠OAM$ , что завершает доказательство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#47237

Периметр треугольника $ABC$ равен $24$ cм, а отрезок, соединяющий точку пересечения его медиан с точкой пересечения его биссектрис, параллелен стороне $AC$ . Найти длину $AC$ .

Источники: Всесиб-2013, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

$PIC$

Обозначим через $AK$ медиану из вершины $A$ , через $M$ - точку пересечения медиан $ABC$ , через I - точку пересечения его биссектрис $AA1,BB1,CC1$ . Проведём через $K$ прямую параллельно $AC$ , пересекающую биссектрису $BB1$ в точке $P$ - её середине. По теореме Фалеса $PI :IB1 =KM :MA = 1:2,$ поэтому $BI :IB1 = 2:1$ . По свойству биссектрис $AI$ и $CI$ в треугольниках $ABB1$ и $CBB1$ имеем $AB :AB1 = BI :IB1 = CB :CB1 =2 :1$ . Отсюда $AC = 12(AB + BC)= 13(AB +BC + AC)= 8.$

Второе решение.

$PIC$

Пусть $AA2,BB2$ — биссектрисы, $BB1,CC1$ — медианы, $BH$ — высота, $P$ — периметр $△ABC.$ Пусть $I =AA2 ∩BB2,Z = BB1∩ CC1$ , тогда $IZ ∥ AC.$ Отсюда следует

3 ρ(I,AC)= r= ρ(Z,AC ) =⇒ ρ(C1,AC )= 2r

ρ(C1,AC)= 3r =⇒ ρ(B,AC )= BH =2ρ(C1,AC )= 3r 2

Из отношения высот получим

SAIC- -r⋅AC-- 1 SABC = BH ⋅AC = 3

S r ⋅AC AC 1 P SAABICC--=-P-⋅r- =-P- = 3 =⇒ AC = 3-= 8

Ответ:

$8$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#91383

Даны две пересекающиеся окружности радиусов $√2-$ см и $√17$ см, расстояние между центрами которых равно 5 см.

$PIC$

Прямая пересекает эти окружности в точках $A,B,C$ и $D$ так, как это показано на рисунке, причём длины отрезков $AB,BC$ и $CD$ равны. Найти длину этих отрезков.

Показать ответ и решение

Обозначим длины искомых отрезков за $2x$ , отметим центры $P$ и $Q$ окружностей и опустим из них перпендикуляры $P S$ и $QT$ на прямую $AB$ , обозначим их длины за $p$ и $q$ соответственно.