Планиметрия на Всесибе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
отрезки 
и 
– высоты, 
– их точка пересечения, 
– точка пересечения 
и 
, 
—
середина отрезка 
, 
— точка пересечения прямой 
и стороны 
Доказать, что прямая 
перпендикулярна стороне
Источники:
Подсказка 1
Вспомним свойства высот! Что можно сказать про четырехугольники AMKC и BCML?
Подсказка 2
Верно, они вписанные! Тогда, отметим уголочки в этих четырехугольниках! А что можно сказать про ∠ACB (если мы знаем, что угол между прямыми равен углу, между перпендикулярами к этим прямым)?
Подсказка 3
Да, он равен ∠AHL! Так как, P – середина AH, то LP – медиана в треугольнике ALH, который является прямоугольным. А медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из прямого угла – разбивает исходный треугольник на два равнобедренных! Тогда что можно сказать про четырехугольник TSML?
Подсказка 4
Конечно, он вписанный! То есть, ∠TSL=∠TML (опираются на дугу TL) ⇒ ∠TSL=∠AHL! ⇒ TS параллельна высоте AK.
Первое решение.
Обозначим 
От проведения высот нам понадобятся следующие результаты:
Также известно, что угол между прямыми равен углу между перпендикулярами к этим прямым, так что
По условию 
— медиана в прямоугольном треугольнике 
, поэтому
Из 
и 
следует, что в четырехугольнике 
противоположные углы в сумме дают 
значит, он вписанный. А вписанные
углы, опирающиеся на дугу 
равны:
Получаем, что соответственные углы 
и 
равны, поэтому прямая 
параллельна высоте 
, так что тоже
перпендикулярна стороне 
, что и требовалось.
Второе решение.
Так как 
, то четырёхугольник 
— вписанный. Значит, 
. Так как 
и 
высоты, то 
.
По условию 
— медиана в прямоугольном треугольнике 
, поэтому 
Отсюда следует, что четырехугольник 
вписанный.
Отсюда 
. Мы знаем, что 
, поэтому четырехугольник 
вписанный. Значит
Тогда 
что и требовалось доказать
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
