Логика на Всесибе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На некотором острове живёт 
человек, каждый из которых является либо рыцарем, который всегда говорит правду, либо лжецом,
который всегда лжёт.
Однажды все жители этого острова выстроились в ряд, и первый из них сказал:
Затем второй сказал:
и так далее до сотого, который сказал:
Определите, сколько рыцарей может проживать на этом острове. Найдите все ответы и докажите, что других нет.
Источники:
Подсказка 1
Что можно сказать про человека, который был первым рыцарем? Чему равно число рыцарей, если мы знаем номер первого из них?
Подсказка 2
Число рыцарей равно номеру первого рыцаря, поскольку, если он первый, значит все до этого соврали, а это значит, что кол-во рыцарей не делится ни на какие числа от 1 до х, где х - номер первого рыцаря. Что тогда это дает? На каких позициях стоят другие рыцари?
Подсказка 3
Рыцари стоят на позициях х,2х,3х,….,х^2. Ведь рыцарей ровно х, и при этом все люди, которые стоят на местах х,2х,…,х^2 не соврали. Теперь мы знаем, где стоят рыцари. А какие условия это накладывает на х? Что , в силу этих условий, можно сказать про их кол-во?
Подсказка 4
В силу этих условий, получаются две оценки: х^2<=100, x(x+1)>100. Откуда х=10. Но нет ли в наших рассуждениях какой-то ошибки, за которую могут снять 1-2 балла? Вспомните рассуждения и найдите ее.
Подсказка 5
Верно, в наших рассуждениях, мы сначала брали первого рыцаря, а потом что-то из этого находили. Но мы не задумались, что первого рыцаря может и не быть! А ведь такая ситуация тоже подходит.
Если рыцарей нет, то все говорящие врут, так как 
не является делителем какого-либо натурального числа.
Если рыцари есть, то пусть первый рыцарь имеет номер 
Тогда число рыцарей является делителем числа 
но не будет являться
делителем чисел 
поскольку до него все лгали. Легко видеть, что тогда число рыцарей равно 
Тогда ему кратны только
числа 
Здесь 
Ровно на этих позициях и только на них и должны стоять рыцари, откуда всего их
будет 
Имеем 
Под это условие подходит только 
В качестве примера достаточно поставить рыцарей
на позиции 
и 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В кружке занимались 
школьников, которые иногда ходили на занятия. Оказалось, что любые два школьника встретились на
каком-либо занятии ровно один раз. Кроме того, известно, что ни на одно занятие не приходили все школьники одновременно. Докажите,
что есть школьник, который был хотя бы на 
занятиях.
Источники:
Подсказка 1!
У нас есть запутанная конструкция с кучей условий. Давайте начнем ее распутывать и посмотрим на одного из учеников. Посмотрим от противного, пусть он не посетил 8 занятий. Тогда применим принцип Дирихле к количеству учеников и количеству занятий, которые он мог посетить
Подсказка 2!
Верно, у нас получится, что он встретил хотя бы 7 человек на одном из занятий. А тут пришло время воспользоваться условием о том, что ни на одном занятии не было всех учеников вместе....
Подсказка 3!
Осталось только аккуратно посчитать, почему для человека, которого не было на том занятии, будет хотя бы 8 занятий!
Предположим, что это не так, то есть каждый школьник был не более, чем на 
занятиях. Тогда по принципу Дирихле на одном из них он
встретил хотя бы 
школьников (оставшихся школьников 
). Пусть это было занятие по математике. По условию на нём были не все
школьники, поэтому также найдётся такой, который на нём отсутствовал (назовём его Вася). Вася должен встретить всех школьников
(которых как минимум 
) с математики на других занятиях. Но раз между собой математики уже виделись, то встречи между ними
произошли на разных восьми занятиях. Вася должен быть на всех. Получаем противоречие с тем, что каждый был не более, чем на семи
занятиях.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Можно ли разбить все натуральные числа от 
до 
включительно на десять множеств, содержащих различное количество чисел
каждое, таких что чем больше чисел содержит множество, тем меньше сумма его элементов?
Подсказка 1
Когда спрашивают, можно ли что-то сделать, для решения необходимо привести пример или доказательство, почему так сделать нельзя. Попробуйте поразбивать числа на множества и подумать, какой может быть ответ на задачку
Подсказка 2
Давайте предположим, что такое возможно. Чему равна сумма всех чисел? А тогда как можно оценить сумму чисел в множестве с максимальной суммой чисел? А что можем сказать про количество чисел в ней?
Подсказка 3
В множестве с максимальной суммой должно быть минимум 6 чисел. Тогда сколько чисел может быть в других множествах? Хватит ли нам 100 чисел для такого разбиения?
Предположим, указанное в условии разбиение возможно. Сумма всех чисел от 
до 
равна 
следовательно, сумма чисел во
множестве с максимальной суммой не меньше 
поэтому оно содержит не меньше 
чисел. По условию, каждое из девяти
оставшихся множеств содержит различное, большее шести, количество чисел. Следовательно, во всех десяти множествах содержится не
меньше 
чисел — противоречие.
Нет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На острове проживают 20 человек, часть из них рыцари, которые всегда говорят правду, а остальные — лжецы, которые всегда лгут. Каждый островитянин точно знает, кто из остальных рыцарь, а кто — лжец. На вопрос приезжего, сколько рыцарей проживают на острове, первый из островитян ответил: “Ни одного”, второй: “Не более одного”, третий: “Не более двух”, четвёртый: “Не более трёх” и т. д., двадцатый заявил: “Не более девятнадцати”. Так сколько же рыцарей проживают на острове?
Если бы первый островитянин был рыцарем, то своим ответом он бы солгал, чего не может быть. Следовательно, первый — лжец и всего
рыцарей на острове не больше 
Значит, двадцатый островитянин своим ответом сказал правду, поэтому он рыцарь, в частности, на
острове не меньше одного рыцаря. Тогда, если бы второй островитянин оказался рыцарем, их вместе с двадцатым было бы уже два, и он
бы солгал, значит, второй — лжец и всего рыцарей не больше 
Поэтому девятнадцатый сказал правду и он — рыцарь.
Продвигаясь так дальше, несложно убедиться, что все островитяне с первого по десятого — лжецы, а все с 
-ого по 
-ого —
рыцари.
