Тема Всесиб (Всесибирская открытая олимпиада школьников)

Функции на Всесибе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела всесиб (всесибирская открытая олимпиада школьников)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#108045

Найти максимальную длину горизонтального отрезка с концами на графике функции $y =x3− x.$

Источники: Всесиб-2020, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Горизонтальный отрезок длины $a> 0$ с концами на графике функции $3 y =x − x$ существует тогда и только тогда, когда уравнение $3 3 (x+ a)− (x+ a)= x − x$ имеет при данном значении параметра $a$ хотя бы одно решение.

Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на $a> 0$ , получим квадратное уравнение $2 2 3x + 3ax +a − 1= 0$ , которое разрешимо при $2 D = 12− 3a ≥0$ , откуда $0< a≤ 2$ .

Следовательно, длина искомого отрезка не превосходит 2.

При $a= 2$ решением уравнения является $x= −1$ , откуда следует, что длина 2 достигается для отрезка с концами $(− 1,0)$ и $(1,0)$ на графике функции $3 y = x − x$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Как в решении 1, получаем уравнение $3x2+ 3ax+ a2 − 1 =0$ , которое рассмотрим как квадратное относительно $a$ с параметром $x$ :

a2+ 3xa+3x2− 1= 0

−3x± √4−-3x2 a1,2 =-----2------,

ввиду положительности $a$ рассматриваем только тот, что с плюсом:

√------ a= -4−-3x2− 3x 2

Данная функция от $x$ определена при $|x|≤ 2√- 3$ и положительна при $− √2 ≤x ≤ 1√- 3 3$ . Её производная

′ 3x+ 3√4−-3x2 a (x)= −--2√4-− 3x2-

обращается в ноль при $x= −1$ , слева больше ноля, а справа — меньше. Следовательно, её значение максимально при $x= −1$ и равно $amax = 2$ . Действительно, в данном случае отрезок длины 2 соединяет на оси $Ox$ два корня $x1 =− 1$ и $x2 =1$ уравнения $x3− x= 0$ .