Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Тригонометрия на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#71665Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $x$ , при каждом из которых выражения

(∘-----2- ) (∘ ----2-- ) log2013 1+ tg x+ tgx и log2012 1+tg x− tg x

равны друг другу.

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим внимательно на аргументы логарифмов! Что про них можно сказать?

Подсказка 2

Верно, можно заметить, что их произведение образует разность квадратов! Причем, разность этих квадратов равна 1. Тогда выразим один аргумент через другой, что можно сказать про них?

Подсказка 3

Да, в таком случае, если каждый из них не равен единице, то равенство логарифмов невозможно! Ведь, тогда один из аргументов меньше единицы, а второй больше единицы. Поэтому каждый из аргументов равен единице! Остаётся решить несложное тригонометрическое уравнение.

Показать ответ и решение

Заметим, что

(∘ ----2-- ) (∘----2-- ) 1+tg x+ tg x ⋅ 1+ tgx − tgx = 1

∘------- 1 1+ tg2x+ tgx = ∘1+-tg2x-− tgx

Тогда надо найти $x$ , при которых

( ) ------1------ (∘ ----2-- ) log2012 ∘1-+tg2x− tg x = log2013 1+ tg x − tgx

Это равенство возможно только при $∘ ------- 1+ tg2x − tgx= 1$ , так как если
$∘ ------- 1+ tg2x− tgx⁄= 1$ , то один логарифм будет неположительный, а другой — неотрицательный.

{ ∘1-+tg2x= 1+ tgx ⇐ ⇒ 1+ tgx ≥0 ⇐ ⇒ tgx= 0 1+ tg2x= 1+ tg2x +2tgx

Ответ:

$πn, n ∈ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#77989Максимум баллов за задание: 7

Выясните, какое из чисел больше:

√- √ - 7√3 arctg( 3+ 2)+arcctg( 3− 2) или -4-

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что в аргументах у нас сопряженные числа с разными знаками. Может, как то связать их через тангенс и котангенс?

Подсказка 2

Давайте докажем, что в левой части у нас число π.

Подсказка 3

Теперь нужно аккуратно оценить двойным неравенством корень из 3, получить оценку на правую часть и сравнить с числом π.

Показать ответ и решение

Обозначим $φ= arctg(√3-+ 2).$ Тогда

1 √3 − 2 √ - ctgφ = √3+-2 =-3−-4 =2 − 3

Поэтому

arcctg(√3-− 2)= π− arcctg(2− √3)= π− φ

первое число из условия равно $π.$ Так как $√- 3< 1,76,$ то второе число из условия $√- 743< 3,08$ и меньше $π.$

Ответ:

$arctg(√3+ 2)+arcctg(√3 − 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#80515Максимум баллов за задание: 7

Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством

∘ ------ √ ------ arcsiny ≤ arccosx.

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Избавьтесь от корней. Попробуйте рассмотреть некоторые значения x.

Подсказка 2

Например, что, если x ≤ 0?

Подсказка 3

Тогда получится, что arcsin(y) ≤ π/2 ≤ arccos(x). Найдите соответствующие x и y.

Подсказка 4

Рассмотрите другой случай, примените синус к обеим сторонам неравенства.

Показать ответ и решение

По ОДЗ $y ≥ 0$ .

arcsiny ≤arccosx

Заметим, что если $x≤ 0$ , то $arcsiny ≤ π≤ arccosx ⇐ ⇒ y ∈[0;1],x ∈[−1;0] 2$ .

Значит, $x,y ≥0$ и $arcsiny, arccosx ∈[0,π] 2$ . Применим синус к обеими сторонам. Так как обе части в интервале $[0,π] 2$ и синус на нем возрастает, то получится равносильное неравенство

∘ ---2- y ≤ 1− x

y2+ x2 ≤ 1

Площадь такой фигуры при условии $x,y ≥0$ равна $π4.$ Значит, общая площадь $1+ π4.$

Ответ:

$1+ π 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#98296Максимум баллов за задание: 7

Выясните, сколько корней имеет уравнение:

( sinx) ∘ ------------ 21x− 11+ 100 ⋅sin(6arcsinx)⋅ (π− 6x)(π+ x)=0.

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Произведение 3 чисел равняется нулю. Когда такое возможно?

Подсказка 2

Надо рассмотреть случай равенства каждого множителя нулю.

Подсказка 3

Не забывайте проверять выполнение ОДЗ для корня.

Показать ответ и решение

1) $∘ (π-− 6x)(π-+x)= 0⇐ ⇒ x= π;−π 6$ . Но так как $− π < −1$ , то для корня $x =− π$ не определен $arcsinx$ и только $x= π 6$ является корнем исходного уравнения.

2) $sin(6arcsinx)= 0⇐⇒ 6arcsinx= πk,k =0,±1,±2,±3$ . Но так как $π x ≤ 6$ , то корнями исходного уравнения будут только следующие числа: $√3 1 − 1,− 2 ,±2,0$ .

3) Рассмотрим уравнение $sinx 100 =11− 21x$ . На промежутках $(− ∞;0]$ и $[1;+ ∞)$ оно не имеет решений, так как на первом из них

sinx 100-< 1< 11 − 21x,

а на втором

sin-x> −1> 11− 21x. 100

На промежутке $(0;1)$ уравнение имеет единственное решение $x0$ , так как здесь левая часть — возрастающая функция, правая часть — убывающая и, кроме того, при $x= 0$

sinx-= 0< 11 =11− 21x, 100

а при $x= π 6$

sinx-= -1-> 11 − 3,5⋅3,1415> 11− 3,5π = 11− 21x 100 200

И соответственно получается, что $x0 < π6.$

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#71243Максимум баллов за задание: 7

Найдите суммарную длину отрезков, составляющих решение неравенства

|2sinx+ 3cosx|+ |sinx− 3cosx|≤ 3sinx

на отрезке $[0;4π].$

Источники: ПВГ-2012, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обратим свое внимание на то, что 3sin(x) ≥ какой-то положительной величины. Значит, мы можем сделать вывод о том, что sin(x) > 0. Обратите внимание на коэффициенты и подумайте, что хочется сделать с неравенством.

Подсказка 2

Давайте разделим правую и левую часть неравенства на 3sin(x). Тогда получим |2/3+ctg(x)|+|1/3-ctg(x)| ≤ 1. Воспользуйтесь модулями по определению. Какие значения может принимать котангенс в таком случае?

Подсказка 3

Рассмотрим модули как расстояния от ctg(x) до -2/3 и до 1/3. Сумма таких расстояний может быть <=1 только, если котангенс принимает значение из промежутка [-2/3; 1/3]. Осталось только найти какую часть тригонометрической окружности занимает котангенс с такими значениями(не забудьте про условие, что sin(x) ≥ 0)

Показать ответ и решение

Левая часть неравенства неотрицательна, поэтому и $sinx ≥0.$ Можно считать, что $sinx > 0$ , поскольку мы ищем только границы ограничений. Поделим неравенство на $3sinx$

||2 || ||1 || ||3 +ctg x||+ ||3 − ctgx||≤ 1

В первой скобке мы считаем расстояние от $ctgx$ до числа $− 23$ , а во второй — до $13$ . Когда же сумма этих расстояний не больше единицы? Нетрудно видеть, что при $ctg x∈[− 23,13] ⇐⇒ x∈ [arcctg 13 + 2πn,π − arcctg 23 + 2πn]$ (не забываем про условие $sinx≥ 0$ ). Мы рассматриваем два полноценных круга на тригонометрической окружности $[0,4π]$ , суммарная длина решений

( ) ( ( )) 2⋅ π− arcctg 2− arcctg 1 = 2⋅ π − arcctg − 7 = 2arcctg 7 3 3 9 9

Ответ:

$2arcctg 7 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#98295Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство:

( 2 ) 2arcsin(x+ 1)+arccos 3x +6x+ 2 < 0.

Источники: ПВГ 2012

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Арксинус и арккосинус — сами по себе не самые приятные в работе вещи, так у них еще и аргументы не самые стандартные. Сумму точно разглядывать не стоит — что можно сделать?

Подсказка 2

Как минимум, можно перенести, например, арксинус, вправо, чтобы сравнивать не страшную сумму с нулем, а два страшных выражения друг с другом. Может быть, можно хотя бы у одного из выражений что-то сделать, чтобы вышло получить более простое для анализа выражение?

Подсказка 3

Почему бы не сделать замену t=x+1? Тогда и первый, и второй аргументы будут выглядеть значительно проще, да и судить об их значениях будет приятнее. Какие значения может принимать t?

Подсказка 4

Есть ли какие-то значения t, при которых даже думать не нужно — решений просто 100% не будет?

Подсказка 5

Полезно вспомнить, какие значения могут принимать арксинус и арккосинус. Есть ли значения t, при которых значения арксинуса и арккосинуса однозначно лежат в разных частых окружности, а значит. и можно сразу сделать вывод о том, походят они или нет?

Подсказка 6

Теперь осталось проанализировать неотрицательные t. Какие значения принимают при них арксинус и арккосинус?

Подсказка 7

Вышел промежуток от 0 до пи. Как на нем ведут себя синус и косинус?

Подсказка 8

Синус как возрастает, так и убывает, а вот косинус — только убывает. Тогда может быть, мы можем как-то переделать наше неравенство так, чтобы получилось избавиться от арксинуса или арккосинуса?

Подсказка 9

Так как только косинус на нужном промежутке ведет себе однозначно, то давайте найдем косинусы от обеих частей неравенства! Если с левой частью все понятно, то как можно преобразовать правую часть?

Подсказка 10

Если представить arcsin(t) = p, то можно найти, чему равен чему равен cos(-2p). Осталось решить полученное неравенство и не забыть об ограничениях на аргументы аркфункций.

Показать ответ и решение

Делаем замену $t= x+ 1$ , переносим $2arcsint$ :

( 2 ) arccos 3t − 1 <− 2arcsint

При положительных $t$ , принадлежащих ОДЗ, неравенство неверно (слева неотрицательное число, справа — отрицательное).

При неположительных $t$ , принадлежащих ОДЗ, обе части лежат в отрезке $[0;π]$ , где $cos$ убывает. Соответственно, неравенство на множестве неположительных $t$ , с учетом ограничений на ОДЗ, имеет вид

2 2 1− 2t< 3t − 1 ≤1

2∕5< t2 ≤2∕3

t∈ [−∘2-∕3;−∘2-∕5)

[ ∘-- ∘ -) x∈ − 1− 2;−1 − 2 3 5

Ответ:

$[− 1− ∘ 2;−1− ∘-2) 3 5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#101967Максимум баллов за задание: 7

Найдите минимальное натуральное число $n$ , при котором система неравенств

( 1) ( 2) ( n ) cosx≥ cos x + 8 ≥ cos x + 8 ≥ ...≥ cos x + 8

не имеет решений.

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если внимательно посмотреть, то можно заметить некоторую закономерность. А что можно сделать в таком случае?

Подсказка 2

Отличной идеей будет решить неравенство относительно двух соседних косинусов в общем виде.

Подсказка 3

Возьмем k/8 и k+1/8. Как же такое решать?

Подсказка 4

Можно, конечно, попробовать сравнить косинусы на окружности и подобрать как-то подходящие значения, но переменная есть там и там — будет весьма неприятно. Что можно сделать с двумя косинусами, чтобы результат вышел более однозначный?

Подсказка 5

Есть ли какая-то формула, которая поможет сделать из разности произведение?

Подсказка 6

Разность косинусов! Тем более, если ей воспользоваться, от х останется зависеть только одна тригонометрическая функция.

Подсказка 7

Если система имеет решение, то будет выполняться для любого значения k из допустимых. Какое значение стоит взять за ориентир?

Подсказка 8

k=0 — самый простой и приятный вариант. И если при нём решения есть, то каким должно стать k, чтобы синус из нашего неравенства стал отрицательным?

Подсказка 9

Не забудьте, что у нас были взяты k и k+1, то есть n=k+1.

Показать ответ и решение

Запишем неравенство соседних косинусов в общем виде и решим его:

( k) ( k+-1) cos x+ 8 ≥ cos x+ 8

По формуле разности косинусов получим

( ) ( ) 2sin x + 2k+-1 sin -1 ≥0 16 16

Откуда

( ) sin x+ -1+ k ≥ 0 16 8

Если $( 1-) sin x+ 16 ≥ 0$ — решение, тогда, при $k 8 > π$

( 1 k) sin x+ 16 + 8 < 0

Найдем минимальное значение $k,$ при котором неравенство выполняется:

k> 8π > 3,14⋅8= 25,12

Следовательно, $k= 26$ . Так как $n= k+ 1,$ то минимальное значение $n = 27.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#34677Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

5(1−-cosx) logsinx 4 = 2.

Источники: ПВГ-2006 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какому уравнению будет равносильно данное на ОДЗ?

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sinx ⁄=1,sinx> 0,1− cosx> 0$ .

На ОДЗ уравнение равносильно

2 5(1− cosx)= 4sin x

2 5− 5cosx= 4− 4cosx

4cos2x− 5cosx+1 =0

То есть $cosx =1$ , что не подходит под ОДЗ, или $cosx = 14$ , откуда с учётом ОДЗ подходит только $x =arccos14 +2πn,n∈ ℤ$ .

Ответ:

$arccos1 +2πn, n ∈ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#91348Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) arcsin 6x − 12x +6 + 2arcsin(x− 1)< 0

Показать ответ и решение

Раз мы можем взять $arcsin$ от $6(x− 1)2$ , то $6(x− 1)2 ≤ 1$ . Значит, $x− 1∈ (− 1√-, 1√-) 6 6$ . Изначальное условие можно переписать как

( 2 ) arcsin 6x − 12x+ 6 < −2arcsin(x− 1)= 2arcsin(1− x)

Так как $x− 1∈ (− 1√-, 1√-) 6 6$ , то $arcsin(6x2− 12x +6)$ и $2arcsin(1− x)$ лежат в $(− π,π) 2 2$ . Синус на этом интервале возрастает. Значит, достаточно проверить