Тема . ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Уравнения, неравенства и системы на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#48859

Решите уравнение

∘ -------- ∘ -----2
  1− |x − 2|+ 4x− x = 3+|x− 2|.

Источники: ПВГ-2010, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте внимательно посмотреть, вдруг какое-то выражение повторяется довольно часто? Что можно сделать в таком случае?

Подсказка 2

Да, можно сделать замену! Но тогда нужно придумать, как полностью избавиться от х.

Подсказка 3

В замене просто х, а нужно получить х², что для этого можно сделать?

Подсказка 4

Теперь получилось уравнение с корнями, что можно попробовать, чтобы его решить?

Подсказка 5

Конечно, можно попробовать возвести уравнение в квадрат, но чтобы полностью избавиться от корней, придется сделать это минимум два раза — а искать корни многочлена четвёртой степени явно не предел наших мечтаний, не так ли?

Подсказка 6

Раз уж решаем уравнение, то было бы неплохо найти ОДЗ — вдруг она как-то сможет помочь?

Подсказка 7

Самое время подумать, как же ведут себя части уравнения на ОДЗ!

Подсказка 8

Слева функция убывает, а справа возрастает. А сколько раз в таком случае они могут пересечься? Осталось только подобрать ответ :)

Показать ответ и решение

Заметим, что 4x − x2 =4− (4− 4x +x2)= 4− (x− 2)2  , сделаем замену t= |x − 2|≥ 0

√ ---- ∘ ---2-
  1− t+  4− t= 3+ t

Заметим, что из ОДЗ t∈ [0,1]  , а на этом отрезке оба корня в левой части строго убывают. В это же время функция 3+ t  монотонно возрастает и уравнение может иметь не более одного решения. Нетрудно видеть, что это t= 0  ⇐⇒   x= 2.

Ответ:

 2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!