Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Уравнения, неравенства и системы на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#94089

Решите систему

(| 2x− 3y+-1 =6, |{ xy1 ||( 3z− 6x+ xz1 = 2, 6y− 2z+ yz = 3.

Источники: ПВГ - 2021, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Умножив первое уравнение на $(2x− 3y)$ , второе — на $(3z− 6x)$ , третье — на $(6y− 2z)$ и сложив, получаем уравнение-следствие:

2 2 2 2x−-3y- 3z− 6x 6y-− 2z (2x− 3y)+ (3z − 6x) +(6y− 2z) + xy + xz + yz = 6(2x − 3y)+ 2(3z− 6x)+ 3(6y− 2z)

(2x − 3y)2+(3z− 6x)2+ (6y− 2z)2 = 0

2x= 3y = z

Подстановка $2x =3y =z$ в систему приводит к ответу: $1 1 x= 2,y = 3,z = 1$ и $1 1 x= −2,y = − 3,z = −1.$

Ответ:

$(1,1,1) ,(− 1,− 1,− 1) 2 3 2 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31185

Решите систему

({ ∘ x- ∘-y -7- √y + x = √xy√ +-1; ( x xy+ 78= −y xy.

Источники: ПВГ-2020

Показать ответ и решение

Область определения системы распадается на две подобласти: $1) x,y > 0$ и $2) x,y < 0$ .

При умножении первого уравнения на $xy ⁄= 0$ , получаем

∘ x- ∘ y- √-- x⋅(y⋅ y)+ y⋅(x⋅ x)= 7 xy+ xy

В подобласти $(1)$ верно $∘-- √-- y = y2,x = x2$ , то есть мы можем занести под корень и сократить:

{ √-- √-- √-- x xy+ y-xy =7 xy +xy x√xy+ 78= −y√xy

откуда следует, что число $√ -- t= xy$ удовлетворяет квадратному уравнению $t2 +7t+ 78 =0$ , которое решение не имеет.

В подобласти $(2)$ же из-за того, что $∘ -- √ -- y = − y2,x= − x2$ при занесении под корень в левой части появляются минусы перед корнями:

{ √ -- √ -- √ -- − x xy−√y-xy = 7 xy+√ xy; x xy +78= −y xy,

откуда следует, что число $√ -- t = xy$ удовлетворяет квадратному уравнению $2 t +7t− 78 =0$ , решениями которого являются $t1 = −13,t2 = 6$ .

Так как $t> 0$ , то с учетом исходной системы получаем $x⋅y =36,x+y = −13.$ В итоге имеем две пары решений $(− 9;−4),(−4;−9)$ .

Ответ:

$(−9;−4),(−4;−9)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#78980

Решите систему

(| √x2-− 2x+-4⋅log (4 − y)= x { ∘y2-−-2y-+4⋅log2(4− z)= y |( √ 2-------- 2 z − 2z+ 4⋅log2(4− x)= z

Источники: ПВГ - 2020, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Введём в рассмотрение функции

----t---- f(t)= √t2−-2t+4-и g(t) =log2(4− t)

Под радикалами находятся заведомо положительные выражения $x2− 2x +4= (x− 1)2+ 3,$ поэтому на них можно поделить, а система примет такой вид:

( |{ g(y)= f(x) |( g(z)= f(y) g(x)= f(z)

Область определения системы задаётся тем, что каждая переменная меньше 4.

На этой области определения функция $g(t)$ монотонно убывает, а функция $f(t)$ имеет положительную производную:

f′(t)= -2-4−-t--3 >0 при t< 4, (t − 2t+4)2

поэтому является монотонно возрастающей.

Далее существует два способа решения:

Первое решение.

Заметим, что $x= y = z = 2$ является решением системы. Покажем, что других решений нет.

Действительно, пусть $x <2.$ Но тогда

log2(4− y)= f(x)< f(2)= 1 =⇒ 4− y < 2 =⇒ y > 2 =⇒

log (4 − z)= f(y)> f(2)= 1 =⇒ 4− z >2 =⇒ z < 2 =⇒ 2

log2(4 − x)= f(z)< f(2) =1 =⇒ 4− x< 2 =⇒ x >2

сразу же получаем противоречие. Ясно, что случай $2< x< 4$ рассматривается полностью аналогично.

Второе решение.

В силу обратимости функции $g$ получается явно выразить любую из переменных, причём выражаются они одинаково в силу цикличности системы:

y = 4− 2f(x) =4 − 2f(4−2f(z)) =4− 2f(4−2f(4−2f(y)))

y = h(h(h(y)))),

где функция $h(u)= 4− 2f(u)$ монотонно убывает по правилам монотонности сложной функции.

Тогда в правой части уравнения функция $s(y)=h(h(h(y)))$ монотонно убывает, а в левой части уравнения функция $t(y)= y$ , очевидно, монотонно возрастает. Поэтому равенство $t(y)= h(y)$ возможно не более, чем в одной точке. И при $y = 2$ оно как раз достигается. Всё проделанное справедливо и для оставшихся двух переменных.

Ответ:

$(2;2;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32156

Решите уравнение

2 x +8{x+ 4}− 9 =0

Источники: ПВГ-2019, 11.5 (см. rsr-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Так как ${x+ 4} ={x}= x− [x],$ то получаем

2 2 9 − x = 8x− 8[x] ⇐ ⇒ x + 8(x− [x])− 9= 0

Так как $0≤ {x+ 4}<1,$ то

2 0≤ 9− x = 8{x +4}< 8

1< x2 ≤9

Нужно рассмотреть случаи исходя из этой оценки

$∙$ Если $x= 3$ , то уравнение $x2+8(x− 3)− 9= 0$ обращается в тождество.

$∙$ Если $2≤x < 3$ , то $x2+8(x− 2)− 9= 0$ . Корни этого уравнения $− 4± √41$ и корень $− 4+ √41$ попадает в нужный полуинтервал.

$∙$ Если $1< x< 2$ , то $x2+8(x− 1)− 9= 0$ . Корни этого уравнения $− 4± √33$ и корень $− 4 +√33$ попадает в нужный полуинтервал.

$∙$ Если $− 2≤x < −1$ , то $x2+ 8(x+ 2)− 9 =0$ . Корни этого уравнения $− 7,−1$ и ни один не попадает в полуинтервал.

$∙$ Если $− 3≤x < −2$ , то $x2+ 8(x+ 3)− 9 =0$ . Корни этого уравнения $− 5,−3$ и корень $− 3$ подойдёт.

Ответ:

${−3;−4+ √33;−4+ √41;3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32857

Решите неравенство

------1----- -------2------ √x2-− x-− 2− 2 ≤ √x2-+14x+-40− 4.

Источники: ПВГ-2018, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ задаётся четырьмя условиями:

2 x − x− 2= (x +1)(x− 2)≥ 0,

(x +1)(x − 2)⁄= 4,

x2 +14x+ 40 =(x+ 4)(x+ 10)≥0,

x2+ 4x +40⁄= 16;

пересекая которые, получаем

x ∈(−∞; −12)∪ (− 12;−10]∪[−4;− 2)∪ (−2;− 1]∪ [2;3)∪ (3;+∞ )

Приведём дроби из условия к общему знаменателю

√-2-------- √-2------ -√-2x-+-14x-+40√−-22-x-−-x−-2-- ≤0 ( x − x− 2− 2)( x +14x+ 40− 4)

Знак разницы неотрицательных чисел (в данном случае корней из каких-то выражений) совпадает со знаком разницы их квадратов, потому что разность квадратов раскладывается в произведение разности этих чисел (знак которой нам и надо понять) и суммы этих чисел (которая и так неотрицательна, так что не влияет на знак). Поэтому неравенство равносильно:

x2+-14x-+40−-4(x2−-x−-2) ---3(x−-8)(x+-2)--- (x2− x− 6)(x2+ 14x +24) ≤0 ⇐ ⇒ (x − 3)(x+ 2)2(x+ 12) ≥0

Откуда по методу интервалов $x ∈(−∞; −12)∪ (−2;3]∪[8;+ ∞)$ .

Пересекаем с ОДЗ $(−∞;−12)∪(−12;−10]∪ [− 4;−2)∪ (−2;−1]∪[2;3)∪(3;+∞ )$ и получаем ответ.

Ответ:

$(−∞;− 12)∪ (− 2;−1]∪ [2;3)∪ [8;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#113661

Решите неравенство

∘ --------- ∘ ----------- 2 x2− 4x+ 5+ 3x2− 12x+ 13 ≤4x− x − 2.

Источники: ПВГ 2018

Показать ответ и решение

После выделения полных квадратов, неравенство принимает вид

∘ -----2--- ∘ ------2--- 2 (x− 2) +1+ 3(x− 2) +1 ≤−(x− 2) +2

Делаем замену $t= (x− 2),$ тогда получим

∘----- ∘ ----- 2 t2+ 1+ 3t2+ 1≤ −t + 2

Рассмотрим функцию

∘-2--- ∘ -2--- 2 f(t)= t + 1+ 3t +1+ t − 2

Заметим, что функция возрастает при $t≥0$ и убывает при $t< 0,$ при этом

f(0)= √1 +√1 − 2 =0

Значит, при $t⁄= 0$ $f(t)> 0,$ а $t= 0$ нам подходит. При обратной замене получаем, что $x= 2.$

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#67596

Решите уравнение

√- 2016 √ ----2016 ( x) + ( 1− x) = 1

Источники: ПВГ-2016 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $0≤ x≤ 1.$

Подстановкой легко убедиться, что $x= 0$ и $x = 1$ — это решения.

При $0< x< 1$ (на оставшейся области ОДЗ) оценим слагаемые в левой части

{ √- 2016 0< x< 1 ⇐⇒ ( x)√ --<-x2016 0< 1− x< 1 ⇐⇒ ( 1− x) <1− x

Складывая эти неравенства, получаем

√- 2016 √ ----2016 ( x) + ( 1− x) < x+ (1 − x)= 1

Поэтому на интервале $(0;1)$ левая часть строго меньше единицы и равняться единице не может.

Ответ:

$0;1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#70344

Решите уравнение

( 2)( 2 10) ( 2 6)2 1 +x+ x 1+x +x + ...+ x = 1+ x+x +...+ x

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Вспомним формулы сокращенного умножения. Домножим на $(x− 1)2 ⁄= 0$ , но учтём потом, что $x =1$ не является корнем.

( 2) ( 2 10) 2( 2 6)2 (x− 1)1 +x+ x (x − 1) 1+ x+x +...+ x =(x− 1) 1+ x+ x +...+x

(3 )(11 ) (7 )2 x − 1 x − 1 = x − 1

14 11 3 14 7 x − x − x +1 =x − 2x +1

x11+ x3− 2x7 =0

$x= 0$ — корень. Поделим на $x3 ⁄= 0$

x8 − 2x4+ 1= 0

( )2 x4− 1 =0 ⇐ ⇒ x =±1

$x= 1$ — посторонний корень

Ответ:

${−1;0}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#77219

Решите уравнение

|| ∘ ---2|| ∘----2 |x+ x 1− x |= 1 +x .

Источники: ПВГ 2015

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поскольку выражение слева и справа — чётные функции, то достаточно рассмотреть случай $x ≥0.$

Тогда на ОДЗ $x∈ [0;1]$ все преобразования равносильны. А при $x∈∕$ $[0;1]$ решений нет.

∘ ----- ∘ ----- x 1− x2+x = 1+ x2

∘ ----2 ∘----2 x 1− x = 1+ x − x

x2− x4 = 1+2x2− 2x∘1+-x2

2x∘1-+-x2-=x4+ x2+ 1

4x2(1+ x2)=(x2(x2+ 1)+ 1)2

(x2(x2+ 1) − 1)2 = 0

x4+x2− 1= 0.

Решив квадратное относительно $2 x$ уравнение, получим $∘ √5−1- x= 2 .$

Учитывая чётность всех выражений в исходном уравнении $∘√---- x =± --5−21.$

Второе решение.

Используем неравенство Коши–Буняковского(скалярное произведение двух векторов на плоскости не превосходит произведения их длин) для векторов на плоскости вида $√ ----- ( 1− x2,x)$ и $± (x,1)$ . Получим

±(x∘1-− x2+ x)≤ 1⋅∘1+-x2

Равенство достигается, если вектора пропорциональны(косинус угла между ними равен $1$ ), то есть

√----- -1−-x2= x x 1

∘1-−-x2 = x2

√- x2 =-5−-1 2

Ответ:

$±∘ √5−1- 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#85028

Решите неравенство

∘ -2--- ∘ -2------- ∘ -------2- x − 1 + x − 4x +3+ 2x +3 − x ≥ 2

Источники: ПВГ 2015

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x2 − 1≥ 0 ||{ 2 || x − 4x+ 3≥ 0 |( 2x +3− x2 ≥ 0

( ||{ x∈ (−∞; −1]∪[1;+∞ ) | x∈ (−∞; 1]∪ [3;+∞ ) |( x∈ [−1;3]

x∈ {− 1;1;3}

Подставим получившиеся значения $x$

$x =− 1.$ Тогда
$√- 0+ 8+ 0≥ 2$
Значит, $x = −1$ подходит.
$x =1.$ Тогда
$0+ 0+2 ≥2$
Значит, $x = 1$ подходит.
$x =3.$ Тогда
$√ - 8+0+ 0≥ 2$
Значит, $x = 3$ подходит.

В итоге $x∈ {− 1;1;3}.$

Ответ:

${−1;1;3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32856

Решите неравенство

√---- |2 | √ ---- |2 | 9− x⋅|x − 1|≤ 9− x⋅|x − 10x+13|.

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Обе части неравенства определены при $9− x≥ 0$ . При $x =9$ получим верное неравенство $0 ≤0$ , так что это значение $x$ является решением. При $x< 9$ можем сократить на положительный корень без смены знака неравенства и возвести обе части в квадрат (это будет равносильным переходом, потому что обе части неотрицательны как модули каких-то выражений), после чего воспользоваться формулой разности квадратов:

2 2 2 2 2 2 |x − 1|≤ |x − 10x +13|⇐⇒ (x − 1) ≤ (x − 10x+ 13)

2 (10x− 14)(2x − 10x+12)≤ 0

(5x− 7)(x− 2)(x− 3)≤ 0

x∈(−∞; 7]∪[2;3] 5

Осталось не забыть условие $x< 9$ , а также внести в ответ отдельно рассмотренное значение $x =9$ .

Ответ:

$(−∞; 7]∪ [2;3]∪ {9} 5$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#44152

Решите неравенство

√x − √4 ∘---1--x3--≥1. 1 +x − √x

Источники: ПВГ-2014, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0,∘1-+-1− √3 ⁄= 0 x x$ , откуда получаем $x∈(0;8)∪ (8;+∞ ).$

Для решения неравенство домножим числитель и знаменатель на $√ - x:$

x− 4 (x− 4)− (√x+-1− 3) √x+-1−-3 ≥ 1 ⇐⇒ ----√x-+1-− 3----≥ 0

После замены $√ ---- t= x+1$ имеем

2 t-− 2−-t≥ 0 ⇐⇒ (t+1)(t−-2)≥ 0 t− 3 t− 3

По методу интервалов $t∈[−1,2]∪ (3,+∞ )$ , то есть $√x-+1∈ (1;2]∪(3;+ ∞)$ , откуда $x +1 ∈(1;4]∪(9;+∞).$ Решение $(0;3]∪(8;+ ∞)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$(0;3]∪(8;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#70345

Решите неравенство

√---- | 2 | √---- | 2 | 7 − x⋅|x − 3|≤ 7− x⋅|x − 14x+ 27|

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≤ 7$ . $x= 7$ является решением. Поделим обе части на $√7-−-x> 0$

2 2 |x − 3|≤ |x − 14x+ 27|

Получили неравенство вида $|A |≤ |B| ⇐ ⇒ A2 ≤B2 ⇐⇒ (A − B )(A + B)≤ 0.$

2 2 2 (x − 3− x + 14x− 27)(2x − 14x+24)≤ 0

(14x − 30)(2x2− 14x+ 24)≤0 ⇐ ⇒ x ∈(− ∞;15]∪ [3;4] 7

Объединяя с $x= 7$ и пересекая с ОДЗ получаем ответ.

Ответ:

$(− ∞;15]∪[3;4]∪{7} 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#70350

Найдите сумму целых чисел, являющихся решениями неравенства

√------ ∘ --2-------- 2 5x− 11− 5x − 21x+ 21≥ 5x − 26x+ 32

Источники: ПВГ-2014 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Выпишем условия ОДЗ:

{ ({ 11 √-- 5x−2 11 ≥0 ⇐⇒ x ≥(5 21−√21] [21+√21- ) ⇐⇒ x≥ 21+--21. 5x − 21x+ 21≥ 0 ( x ∈ −∞; 10 ∪ 10 ;+∞ 10

Заметим, что $2 2 5x − 26x+ 32= (5x − 21x +21)− (5x− 11)$ .

Пусть $2 5x − 21x+ 21 =B, 5x− 11 =A.$ Тогда исходное неравенство примет вид

√-- √-- A − B ≥ B − A

Домножим обе части на $(√ -- √-) A+ B ≥0.$ Этот переход действительно равносильный, так как $√-- √ -- A + B = 0 ⇐⇒ A =B = 0$ — решение. Получаем

(√ -- √-) A− B ≥(B− A) A+ B

(√-- √-- ) (A− B) A + B +1 ≥ 0

Поделив обе части на $(√A-+ √B-+ 1) > 0$ получим $A≥ B.$

2 5x − 11≥ 5x − 21x+ 21

x2 − 26x+ 32 ≤0 ⇐ ⇒ x ∈[2; 3,2]

Пересекая с ОДЗ получаем $[ √-- ] x∈ 21+1021; 3,2$ и единственное целое число, являющееся решением, это $3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32858

Решите неравенство

√---- 2 ∘ -2------- 4x +2 + 4 − x >x + x − 5x+ 2.

Источники: ПВГ-2013, 11.4 (см.pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

После переноса корней налево получаем $√ ---- √ 2-------- 2 4− x − x − 5x+ 2> x − 4x − 2$ .

Обозначив $√---- 4 − x= a$ и $√-2------- x − 5x+ 2= b$ , получаем неравенство $2 2 a− b >b − a ⇐ ⇒ (a− b)(1+ a+b)> 0$ .

Так как $1+ a+ b≥1 >0$ , то остаётся решить $a− b> 0$ , то есть $√---- √-2------- 4− x> x − 5x+2$ . При возведении в квадрат учтём ОДЗ (неотрицательность подкоренных) и получим двойное неравенство:

4− x> x2− 5x +2 ≥0

Первое неравенство равносильно

2 √ - √- x − 4x − 2< 0 ⇐⇒ x∈ (2− 6;2+ 6),

а второе

5−-√17 5-+√17- x∈ (− ∞; 2 ]∪ ( 2 ;+∞ ).

Теперь нужно пересечь полученные промежутки.

Заметим, что $√- 5−√17 2− 6< 2 ,$ так как $√- √-- 4− 2 6< 5− 17$ , потому что $√-- √ - √ - 17< 5= 1+ 2 4< 1+ 2 6$ .

А вот $√- 5+√17 2+ 6 < -2---$ , так как $√- √-- 4 +2 6 <5+ 17$ , потому что $√- √-- √ -- √ -- √-- 2 6= 24 < 25 =1 + 16 <1+ 17$ .

В итоге при пересечении получаем $√ -5−√17 x∈ (2− 6;--2--]$ .

Второе решение.

Перепишем неравенство в виде

√ ---- 2 ∘-2------- 4− x+ 4− x> x − 5x+ 2+ x − 5x+ 2.

Заметим, что функция $f(t)= t2+t= t⋅(t+ 1)$ монотонно возрастает при $t≥ 0$ . Поэтому неравенство $f(√4-−-x) >f(√x2−-5x+-2)$ равносильно неравенству $√4−-x> √x2−-5x+2-$ . А оно в свою очередь эквивалентно системе (второе и третье условия задают ОДЗ изначального неравенства):

(|{ 4− x> x2− 5x +2, 4− x≥ 0 ⇐ ⇒ |( x2− 5x+ 2≥0

{ x2− 4x− 2< 0, x2− 5x+ 2≥0

Так же, как и в первом решении, получаем

√-- x∈(2− √6;5−--17] 2

Ответ:

$(2 − √6;5−√17] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#91387

Найдите все пары вещественных чисел $(x;y)$ , удовлетворяющих системе

{ (2− √3)x = 3y+4y, ∘−-x2− 3xy−-y2 = 2y+ x. 2

Источники: ПВГ 2013

Показать ответ и решение

$y ≥−x∕4$ . Возводим второе уравнение в квадрат.

2 2 2 x2 − x − 3xy− y = 4y + 2xy+ 4

5x2 5y2+5xy+ -4-= 0

y = − x 2

Подставляем результат в первое уравнение системы:

(2− √3)x = 3−x∕2+ 4−x∕2

(2 − √3)x = (√3)− x+2−x

Заметим, что

√- x √- x (2− √3)x = (2−-3)-⋅√(2+x-3)-=----1√--x = (2 +√3)−x (2+ 3) (2+ 3)

поэтому

√-− x √ -−x −x (2+ 3) = ( 3) + 2

Поделим обе части на $(2+ √3)−x ⁄= 0$

( √3 )−x ( 2 )−x 1= 2+√3- + 2-+√3-

Функция слева представляет собой сумму монотонно убывающих функций, значит, корней у данного уравнения не более одного. Этот корень достаточно легко угадывается, $x =− 1$ , откуда $y =1∕2$ , что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$(−1;1∕2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#34757

Решите уравнение

| 22 2 2 | |xy| |1− x− y − xy|+ |2x y − 2x y− 2xy + 2xy− 9|+ xy = −1.

Источники: ПВГ-2012, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что $|xy|= ±1 xy$ , откуда левая часть не меньше $− 1$ , равенство достигается тогда и только тогда, когда

(| 1 − x − y− xy = 0 (| (x− 1)(y− 1)=2xy { 2x2y2− 2x2y− 2xy2+2xy− 9= 0 ⇐⇒ { 2xy(x− 1)(y − 1)= 9 |( |( xy <0 xy <0

Из первых двух уравнений следует, что $(2xy)2 =9$ , а с учётом третьего неравенства получаем $xy = − 3 2$ . Для решения системы осталось подставить это в первое уравнение, потому что второе и третье условия мы уже учли

{ 1− x− y+ 3= 0 { x+ y = 5 xy = − 3 2 ⇐⇒ xy = − 32 2 2

По обратной теореме Виета если решения системы есть, то числа $x,y$ будут корнями уравнения $t2− 52t− 32 = 0 ⇐⇒ t=− 12 или t=3$ . Осталось не забыть, что система симметрична $(x;y)<− > (y;x)$ , и записать обе пары в ответ.

Ответ:

$(3;− 1),(− 1;3) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#33909

Решите неравенство

∘----2--- 2 x − x + 2+ x > 4− 5|x− 2|.

Источники: ПВГ-2011 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $− x2+x +2 ≥0 ⇐⇒ x∈ [− 1,2]$ , то есть мы знаем, что на ОДЗ $x− 2≤0$ .

Тогда раскроем модуль

∘------------ 2 − (x +1)(x − 2)=> 4+ 5x− 10− x = −(x− 2)(x− 3)

При $x< 2$ правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, так что неравенство выполнено. Если же $x= 2$ , то обе части равны нулю, что не подходит в силу строгого знака.

Ответ:

$[−1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#67701

Решите неравенство

∘ ---2---- 2 x− x +2+ x > 4− 5|x− 2|

Источники: ПВГ-2011, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Из ОДЗ получим $− x2+x +2 ≥0 ⇐⇒ x∈ [− 1,2]$ . Отсюда $|x− 2|= 2− x$ , подставим

∘ ----2--- 2 x− x +2 >− x +5x− 6

Нетрудно видеть, что $x =2$ является корнем для обеих частей неравенства, поэтому в этой точке достигается равенство. Также заметим, что при $x∈[−1,2)$ левая часть неотрицательна, при этом правая часть отрицательна, поскольку $− x2+ 5x − 6 =(2− x)(x− 3)$ — первая скобка будет положительна, а вторая отрицательна на этом промежутке. Значит, на $[−1,2)$ неравенство выполнено, а в $x= 2$ нет.

Ответ:

$[−1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#48859

Решите уравнение

∘ -------- ∘ -----2 1− |x − 2|+ 4x− x = 3+|x− 2|.

Источники: ПВГ-2010, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что $4x − x2 =4− (4− 4x +x2)= 4− (x− 2)2$ , сделаем замену $t= |x − 2|≥ 0$

√ ---- ∘ ---2- 1− t+ 4− t= 3+ t

Заметим, что из ОДЗ $t∈ [0,1]$ , а на этом отрезке оба корня в левой части строго убывают. В это же время функция $3+ t$ монотонно возрастает и уравнение может иметь не более одного решения. Нетрудно видеть, что это $t= 0 ⇐⇒ x= 2.$

Ответ:

$2$