Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Уравнения, неравенства и системы на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#90834Максимум баллов за задание: 7

Один из корней квадратного уравнения $px2+ qx+ 1= 0 (p< 0)$ равен $2010.$ Решите неравенство:

√- x +q x +p >0.

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие значения может принимать х в нашем неравенстве?

Подсказка 2

Есть смысл разбить задачу на два случая, в зависимости от х: какое/какие значения имеет смысл рассмотреть отдельно?

Подсказка 3

Будет ли х=0 входить в решения?

Подсказка 4

Теперь достаточно проанализировать только положительные х. Что можно сделать с данным неравенством, чтобы оно стало похоже на стандартное квадратное?

Подсказка 5

Есть х и √х, почему бы не сделать замену?

Подсказка 6

Теперь внимательно посмотрите на полученные уравнение и неравенство, не замечаете некоторую схожесть? Что можно сделать, чтобы они стали практически один в один?

Подсказка 7

Да, взять другую замену! Только теперь с обратной пропорциональностью. Теперь перед нами дробно-рациональное неравенство — что можно сделать дальше?

Подсказка 8

Теперь нужно разложить числитель на множители, что в этом может помочь?

Подсказка 9

Зная один корень уравнения, можно определить и второй. А значит, и разложить трёхчлен на множители! Осталось только решить неравенство с учётом знаков р и замены. И не забудьте про обратную замену ;)

Показать ответ и решение

С учётом ОДЗ корня $x≥ 0$ . Поскольку $p< 0$ , то при $x =0$ неравенство не выполняется. Поэтому рассмотрим $t= 1√-> 0 x$ , откуда неравенство примет вид:

1 q 2 t2-+ t + p>0 ⇐⇒ pt +qt+ 1> 0

Знак сохраняется в силу умножения на положительное число, видим, что выражение совпало с первоначальным уравнением, откуда имеем корень $t= 2010$ . Далее снова при условии $p< 0$ второй корень изначально уравнения отрицателен (произведение равно $1∕p$ ), откуда неравенство превращается в равенство только при $x= 201102$ , в силу того, что при больших $x$ оно выполняется, и получается нужный ответ.

Ответ:

$x >-1--- 20102$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#34673Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√---- x +2 >x − 3

Источники: ПВГ-2006 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим корни — сразу считаем ОДЗ. При каких х из ОДЗ неравенство всегда выполняется, так как корень принимает только неотрицательные значения?

Подсказка 2

При х < 3. Тогда х ≥ 3 обе части неравенства неотрицательны и можно сделать равносильный переход — возвести их в квадрат, ведь как-то надо избавляться от корня.

Подсказка 3

После приведения подобных полученный квадратный трехчлен будет иметь не самые привлекательные корни, поэтому придётся оценить, где они лежат относительно 3, чтобы получить правильное пересечение с неравенством х ≥ 3.

Показать ответ и решение

Обе части неравенства определены при $x+ 2≥ 0$ .

При $x< 3$ получим верное неравенство, ведь правая часть отрицательна, а левая неотрицательна.

При $x≥ 3$ можем без смены знака неравенства возвести обе части в квадрат (это будет равносильным переходом, потому что обе части неотрицательны):

2 2 x +2> x − 6x+ 9 ⇐ ⇒ x − 7x+ 7< 0

( 7− √21 7+√21) x ∈ --2---;--2---

Поскольку $4< √21< 5$ , то левый конец интервала $√-- 7−221< 32 <3$ , а правый $√ -- 7+2-21-> 112->3$ , так что в пересечении с условием $x ≥3$ получаем $[ √ -) x ∈ 3,7+2-21-$ .