Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Планиметрия на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#63886Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ соответственно равны 3 и $1.$ Биссектриса $BD$ равна $√2.$ Найдите угол $BAC.$

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуйтесь золотым свойством биссектрисы.

Подсказка 2

Используйте теорему косинусов для треугольников, связанных с биссектрисой, например таких, как ABD...

Подсказка 3

Из полученной системы выразите сторону AC.

Подсказка 4

А теперь подставив в одно из уравнений, получите значения cos∠BAC. Осталось записать ответ через arccos) Успехов!

Показать ответ и решение

$PIC$

По свойству биссектрисы $AD = 3x,CD = x$ для некоторого $x$ . Запишем теоремы косинусов для $△ABC$ и $△ABD$ :

1 =9+ 16x2− 24xcos∠A (1)

2= 9+9x2− 18xcos∠A (2)

3⋅(1)− 4⋅(2): −5= −9+ 12x2

√- x= 1∕ 3

Тогда из (1)

9+ 16− 1 40 cos∠A = -243⋅√1--= 24√3 3

∠BAC = arccos-5√- 3 3

Ответ:

$arccos-5√- 3 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#79929Максимум баллов за задание: 7

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O.$ Биссектрисы внутренних углов треугольника при вершинах $A$ и $B$ пересекают описанную окружность в точках $A1$ и $B1$ соответственно. Угол между биссектрисами равен $∘ 60 .$ Длина стороны $AB$ равна 3. Найдите площадь треугольника $A1B1O.$

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Несложным счёт углов докажите, что ∠AIB = 90° + ∠BCA/2, где I — инцентр. Какой вывод тогда мы можем сделать?

Подсказка 2

Верно! ∠BCA = 60°. Теперь, мы знаем, что A₁ и B₁ — середины дуг, значит, A₁O ⊥ ...?

Подсказка 3

Несложным счётом углов докажите, что ∠A₁OB₁ = 120°. Осталось найти радиус окружности... Как же это сделать?

Подсказка 4

Мы знаем сторону и угол, который на неё опирается. Дальше дело техники. Успехов!

Показать ответ и решение

$PIC$

Угол между биссектрисами равен углу при вершине $C,∠C =$ $60∘.$ Точки $A1$ и $B1$ лежат на перпендикулярах к сторонам треугольника, опущенным из точки $O$ — центра описанной окружности. Отсюда следует, что угол $∠A1OB1 =120∘.$ Радиус окружности можно найти по теореме синусов $√- R= 2sin360∘ = 3.$ Тогда площадь искомого треугольника равна $√-√- √- S = 0,5 3 3 sin120∘ = 343$

Ответ:

$3√3 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#92072Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA ,BB 1 1$ пересекаются в точке $O$ . Известно, что $2⋅AO =7 ⋅OA ,BO = 2⋅OB 1 1$ . Найдите отношение высоты, опущенной из точки $A$ , к радиусу вписанной в треугольник $ABC$ окружности.

Источники: ПВГ 2014

Показать ответ и решение

Используя, основное свойство биссектрисы находим:

AB :BC :AC = 4:2 :3

$PIC$

Откуда

ha 2S∕a 2p 2+ 3+ 4 9 -r = S∕p-= a-= ---2---= 2

Ответ: 9 : 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#80606Максимум баллов за задание: 7

Кратчайшее расстояние от вершины $B$ треугольника $ABC$ до точек противолежащей стороны равно $12$ . Найдите стороны $AB$ и $BC$ этого треугольника, если $√ - sin∠C = 3∕2$ и $AC = 5.$

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие есть вариации картинки из задачи, что в ней надо зафиксировать?

Подсказка 2

Например, надо рассмотреть случай, когда углы A и C — острые. Может ли в этом случае H лежать на AC?

Показать ответ и решение

Рассмотрим три возможных случая.

1) Углы $A$ и $C$ острые.

$PIC$

Тогда $∘ ∠C = 60$ и высота $BH$ равна 12. Но в этом случае $√- CH = 4 3$ и основание $H$ высоты не может лежать на стороне $AC.$

2) Угол $A$ тупой, а угол $C$ острый.

$PIC$

Тогда $∠C = 60∘,AB = 12$ и по теореме косинусов $√--- 144= 25 +BC2 − 5⋅BC ⇒ BC =(5+ 501)∕2.$

3) Угол $A$ острый, а угол $C$ тупой.

$PIC$

Тогда $∠C = 120∘,BC = 12$ и по теореме косинусов $AB2 =229.$

Ответ:

одна сторона равна $12,$ а другая равна либо $(5+ √501)∕2,$ либо $√229.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#45072Максимум баллов за задание: 7

Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ квадрата $ABCD$ , пересекает прямые $AD$ и $AC$ в точках $E$ и $F$ , отличных от точки $A$ . Длина ортогональной проекции отрезка $EF$ на прямую $AC$ равна $1.$ Какой при этих условиях может быть длина стороны квадрата?

Источники: ПВГ-2012, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, обозначим основание перпендикуляра из E на AF за H. То есть в задаче просят выразить сторону квадрата через FH. Для этого попробуем найти подобные треугольники, так как у нас есть углы по 90 и равные от впсианности. Итак, как всегда для начала воспользуемся вписанностью четырехугольника ABFE, отметим его равные углы. Заметим, что AEB=AFB

Подсказка 2!

Так, теперь попробуем что-то понять про угол HEF, он равен 90 - AFE... Как бы теперь доказать, что он равен одному из углов предыдущего пункта?

Подсказка 3!

А теперь попробуйте найти подобные треугольники, которые помогут ответить на вопрос задачи)

Показать ответ и решение

$PIC$

Опустим из точки $E$ на прямую $AF$ : $EH ⊥AF,H ∈ AF$ . По условию дано $HF =1.$

Также давайте зафиксируем условие про окружность, проходящую через $E$ и $F$ , через равенство вписанных углов: $∠AEB =∠AF B =α$ , и через условие про сумму противоположных углов:

BFE = 180∘− ∠BAE = 90∘ =⇒ ∠HF E = 90 − α =⇒ HEF = α

Из этого наблюдения получаем подобие по равному острому углу прямоугольных треугольников: $△AEB ∼△HEF.$

Осталось найти коэффициент подобия:

√ - √ - HAFB-= EAHE-= sin∠HAE =sin45∘ = 1√-- =⇒ AB = 2HF = 2 2

Ответ:

$√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#80605Максимум баллов за задание: 7

В окружности диаметр $AB$ и хорда $P Q$ пересекаются в точке $C$ под прямым углом. Найдите длину биссектрис треугольника $APQ,$ если $PC = 5$ , $AC :CB = 8.$

Источники: ПВГ 2012

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По сути, всё, что у нас сейчас есть на картинке — это два прямоугольных подобных треугольника PAC и QCB, у которых известная одна сторона, а также есть равенство из того, что это пересекающиеся хорды в окружности. Вы скажете, что это одно и тоже, но плюс в том, что у нас ещё появляется отношение AP к QB, которые, в свою очередь, удачно выражаются через стороны треугольника, хорды ведь пересекаются под прямым углом. Попробуйте применить рассуждения выше к тому, чтобы выразить все отрезки через некоторый в этой задаче (мы же поняли, что она счётная на подобия, поскольку у нас в условии есть только окружность и хорды).

Подсказка 2

Удобным здесь будет взять за х отрезок BC, поскольку именно он меньше в 8 раз отрезка AC. Тогда, чтобы выразить все отрезки хорд, остается лишь записать равенство на произведение отрезков хорд (или, говоря умными словами, расписать степень точки C относительно нашей окружности).

Подсказка 3

В силу наличия отношения уже указанных сторон, связанного с подобием, у нас есть равенство на х, откуда он находится. Значит, мы нашли все отрезки хорд и картинка фиксирована. Значит, мы можем найти все отрезки треугольника из условия. Остается только вспомнить формулу биссектрисы и факт про отношения на которые разбивает биссектриса сторону, и задача решена!

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим $BC = x,$ тогда $AC = 8x$ и из $△AP B$ получаем, что $8x2 = 25⇒ x = 5√8.$ Поскольку $△AP Q$ равнобедренный, то $AC −$ биссектриса угла $A$ и $√- AC =10 2.$ По теореме Пифагора $√-------- AP = 25+ 25⋅8 =15.$ Пусть биссектриса угла $AP Q$ пересекает $AQ$ в точке $S.$ Taк как $PQ =10,$ то по свойству биссектрисы получаем: $√- AS =9,SQ =6.cos∠CAP = 38⇒$ $cos∠QAP = 289 − 1= 79.$ Из $△PAS$ по теореме косинусов получаем, что $PS2 = 225 +81− 2⋅15⋅9⋅ 79 = 96$ $√- ⇒ PS = 4 6$

Ответ:

$10√2,4√6,4√6$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#45073Максимум баллов за задание: 7

Вокруг четырёхугольника $ABCD$ описана окружность с центром в точке $O$ . Известно, что диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника перпендикулярны, $AB =4$ , $DC = 5$ . Какие значения может принимать площадь треугольника $AOB$ ?

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Обозначим угол ACB за a. Тогда у нас угол DBC = 90-a. попробуйте теперь найти что-то про а через теорему синусов в треугольниках ABC и DBC. Может быть, получится узнать его тангенс?

Подсказка 2!

Тангенс найден! А теперь подумайте, как выразить площадь AOB равнобедренного, используя тангенс угла а)!

Показать ответ и решение

$PIC$