Стереометрия на ПВГ

Центры шаров образуют правильный тетраэдр. Угол между высотой и боковым ребром рассчитается и совпадает с углом между высотой и образующей конуса, а также с углом между радиусом упомянутой в условии окружности и радиусом 4-го шара, проведенными в одну точку.

Пусть — указанный угол. Тогда Пусть — радиус окружности в плоскости касания конуса четвертым шаром. Образующая собирается из кусочков:

1) (от вершины конуса до точки касания конуса четвертым шаром);

2) где — радиусы шаров (расстояние между двумя точками касания — нижнего и верхнего шаров соответственно);

3) ( расстояние от основания конуса до точки касания нижнего шара).

Заметим, что следовательно, и

Итого

Объем конуса

После всех подстановок и упрощений получаем