Стереометрия на ПВГ

Сначала необходимо заметить, что кратчайшее расстояние между двумя расположенными на сфере точками по ее поверхности это длина меньшей дуги, проходящей через эти две точки окружности, центр которой совпадает с центром сферы. Отсюда сразу следует первая оценка на радиус сферы: он не может быть меньше, чем В противном случае длина самой большой окружности, расположенной на сфере, меньше, чем , и длина ее меньшей дуги будет меньше, чем что противоречит условию задачи.

Обозначим радиус сферы за ее центр обозначим буквой Рассмотрим две произвольные точки пусть длина дуги равна отметим, что Из сектора и треугольника имеем:

Из этой формулы следует, что периметр треугольника равен:

Рассмотрим функцию одной переменной:

Тогда что положительно при так как
Обратим внимание, что все три слагаемых, входящих в периметр, являются такого сорта функциями, при этом радиус не может быть меньше, чем 5 и, следовательно, величина во всех трех слагаемых принадлежит полуинтервалу Поэтому периметр треугольника является возрастающей функцией параметра и, следовательно, задача сводится к следующей: найти минимальный радиус сферы, на которой могут быть расположены точки удовлетворяющие данным из условия задачи.
Обоснование того, что минимальный радиус равен состоит из двух тезисов. Во-первых, на сфере радиуса расположить три точки в соответствии с условием задачи можно: достаточно взять экватор сферы, его длина равна что равно сумме данных в условии расстояний. Берем произвольную точку на этой окружности, проходим по часовой стрелке расстояние отмечаем точку B, проходим еще отмечаем точку
Во-вторых, на сфере радиуса, меньшего чем 6, точки расположить не получится. Чтобы это доказать, проведем аналогию с глобусом. Представим себе, что точка это северный полюс планеты радиуса 6. Тогда геометрическим местом точек кратчайшее расстояние от которых по сфере до точки равно будет параллель-«экватор», а геометрическим местом точек кратчайшее расстояние от которых по сфере до точки равно будет параллель в южном полушарии. Максимальное расстояние между точкой с «экватора» и точкой с «южной» параллели как раз равно и будет достигаться в случае, когда эти точки расположены на противоположных меридианах. Любые меридиональные смещения одной из точек, очевидно, уменьшат расстояние между ними. Попытка уменьшить радиус сферы-планеты приведет к тому, что параллели, на которых лежат точки и сместятся ближе к южному полюсу, и максимальное из расстояний между точками с этих параллелей (которое по-прежнему достигается в случае их расположения на противоположных меридианах) уже будет менее, чем Итак, минимально возможный радиус сферы равен 6, откуда получаем ответ:

Из условия задачи вытекает, что ребро пирамиды перпендикулярно основанию

Обозначим Пирамида является частью изображённого на рисунке куба с ребром причём все 48 пирамид, образующих этот куб, располагаются центрально-симметрично относительно общей вершины

Поэтому искомый объём есть объёма тела, представляющего собой пересечение шара радиуса и данного куба. Это пересечение есть шар без шести шаровых сегментов с высотой шарового сегмента

Объём этого тела:

Значит, искомый объём равен

Отметим, что объём всей пирамиды равен (или, что то же самое, части куба, то есть ) Найденный объём части пирамиды больше, чем объема пирамиды, так как

Это подтверждает, что мы нашли именно объём большей части пирамиды.

Пусть это пирамида , где (то есть основанию перпендикулярны и ). Обозначим сторону квадрата из основания за .

В силу симметрии высоты и к пересекаются в одной точке. Тогда из условия , как угол между высотами к общей прямой двух плоскостей. Далее в силу той же симметрии и , то есть и . Отсюда . Далее заметим, что , поскольку перпендикулярна двум прямым и , откуда . Тогда . Тогда . Осталось найти

То есть высота пирамиды равна стороне основания.

Поскольку высота пирамиды видна из вершин и под одним и тем же углом, точка лежит на медиане (она же биссектриса и высота) треугольника или её продолжении.

Если , и , а искомый угол , то имеем

откуда, подставляя данные задачи, получаем , в зависимости от того, лежит ли точка внутри треугольника или вне него. Значит, или

С одной стороны,

С другой стороны,

Поэтому

Заметим, что при данных значениях высот пирамида существует:

На рисунке пирамида вписана в прямоугольный параллелепипед со сторонами 3, 4 и 7. Три высоты совпадают со сторонами, а четвёртая высота будет равна как раз 84/37.

Пусть центр основания радиуса — точка , точка рядом , а — вершина конуса. Пусть также пересекает окружность в . Касательные плоскости содержат касательные из к окружности, пусть это и . Легко видеть, что и и есть искомые плоскости, проведём в этих треугольниках высоты к , которые в силу симметрии упадут в одну точку . Тогда наша задача сводится к поиску .

Итак, будем искать отрезки и . По теореме об отрезках касательной и секущей

Здесь мы просто посчитали площадь прямоугольного треугольника двумя способами. Теперь заметим, что , поскольку две прямые ей перпендикулярны, откуда , то есть , как прямоугольные с общим углом. Имеем

В итоге .

Центр сферы равноудалён от точек на её поверхности, а раз по условию вершины основания принадлежат сфере, то центр сферы является центром описанной около основания окружности.

Пусть сфера пересекает ребро в точке . Тогда равны радиусы Опустим перпендикуляр к ребру , он является медианой равнобедренного треугольника Обозначим сторону основания через и пусть угол Пусть основание перпендикуляра, проведенного из точки на сторону

Находим из правильного треугольника в основании , а так как это линейный угол двугранного угла и равен , то

Также заметим

Тогда получаем

(так как

В итоге так что сфера делит в отношении

Опустим перпендикуляры из точки на плоскости и соответственно. Обозначим Согласно условию составим систему уравнений

Отсюда находим Обозначим длины рёбер и через и соответственно.

Лемма:

Доказательство: Введём систему координат с началом в точке как на рисунке. Запишем уравнение плоскости

Так как плоскость не проходит через начало координат, то Значит, можно поделить на Получим:

Теперь поставим в уравнение плоскости точки, в ней лежащие, чтобы найти коэффициенты Итого получим, что А значит уравнение плоскости

Подставив туда координаты принадлежащей этой плоскости точки получим Лемма доказана.

Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для трёх переменных получаем:

причём равенство имеет место при Объём пирамиды поэтому Равенство имеет место при

Пусть и — точки, в которых плоскость пересекает ребра и соответственно.

Тогда по теореме об отношении объемов пирамид с общим трехгранным углом

Пусть пересекает прямую в точке тогда по теореме Менелая для треугольника и секущей

Но — середина следовательно, Тогда по теореме Менелая для треугольника

Пусть пересекает прямую в точке тогда по теореме Менелая для треугольника и секущей

Но — биссектриса следовательно, тогда Тогда по теореме Менелая для треугольника

Значит,

Поэтому отношение частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду равно

Площадь боковой грани не меньше поэтому

Следовательно, , т.е. перпендикулярно . Аналогично получаем, что и перпендикулярно и . Поэтому объём пирамиды равен

Примем сторону тетраэдра за Угол будем искать через косинус, который равен отношению площади треугольника проекции треугольника на плоскость основания, к площади самого треугольника - сечения.

Площадь проекции определяется несложно, так как вершины делят соответствующие радиусы описанной окружности основания (площадь основания ) в тех же отношениях что и соответствующие им точки делят боковые стороны тетраэдра. Тогда площади треугольников и и и с общим углом при вершине относятся, как произведение сторон.

Стороны сечения будем вычислять по теореме косинусов: . Теперь вычислим площадь сечения. Косинус угла , лежащего напротив стороны равен . Тогда . Для площади сечения получим следующий результат

Теперь последнее действие:

Центры шаров образуют правильный тетраэдр. Угол между высотой и боковым ребром рассчитается и совпадает с углом между высотой и образующей конуса, а также с углом между радиусом упомянутой в условии окружности и радиусом 4-го шара, проведенными в одну точку.

Пусть — указанный угол. Тогда Пусть — радиус окружности в плоскости касания конуса четвертым шаром. Образующая собирается из кусочков:

1) (от вершины конуса до точки касания конуса четвертым шаром);

2) где — радиусы шаров (расстояние между двумя точками касания — нижнего и верхнего шаров соответственно);

3) ( расстояние от основания конуса до точки касания нижнего шара).

Заметим, что следовательно, и

Итого

Объем конуса

После всех подстановок и упрощений получаем

(a) У нас есть 2 грани со стороной 2, но вместе с 2 треугольник может образовать только 4 и 5?!

(b) У нас есть 2 грани со стороной 2. Вместе с 2 треугольник может образовать только 4 и 5 или 11,1 и 13. Значит, противоположная сторона равна 9. Пусть нам дан тетраэдр и , , . Тогда и по неравенству треугольника для сторона . Значит, последняя сторона .

По формуле Герона площадь равна

Тогда если — высота в этом треугольнике, то . По теореме Пифагора и . Отсюда следует, что лежит на отрезке

Аналогично, , высота в этом треугольнике длиной , , Значит, лежит на луче за точкой . Отсюда

Вспомним, что у нас есть такое неравенство на

Оно выводится так: спроецируем всё на плоскость, перпендикулярную пусть — проекция , — проекция , — проекция и . Так как и перпендикулярны , то и Значит, проекция на эту плоскость длиной от до , а проекция на прямую это Значит,

Подставим числа и получится, что так как , а , то

Пусть — общая вершина рассматриваемых конусов, и — их оси. Обозначим через и их общие образующие и через искомый угол . Описанная в задаче конфигурация имеет две плоскости симметрии: одна — — содержит оси конусов, другая — — содержит их образующие. Тогда эти плоскости перпендикулярны. Пусть — прямая их пересечения.

Обозначим через угол при вершине в осевом сечении каждого из конусов. Так как является образующей для конуса с осью и наоборот, то . Кроме того,

Точки можно выбирать произвольно на прямых Будем считать, что точки лежат в некоторой плоскости, перпендикулярной прямой и расположенной на расстояние от вершины . Тогда из пирамиды , в которой все плоские углы при вершине прямые, имеем

Тогда по теореме косинусов для треугольников и

Приравняем эти выражения, сократим на и применим основное тригонометрическое тождество в виде

Мы знаем, что , поэтому

Пусть точка — основание горы , точка — основание перпендикуляра к стороне из вершины . Тогда

Ребро пирамиды

Пусть точка — середина пути туриста, точка -— основание перпендикуляра из к Тогда из прямоугольных треугольников и :

Необходимо проверить существование решения неравенства

Отметим, что

Пусть высота из вершины на грань , а из вершины на грань . Так как тетраэдр правильный, то и пересекаются на стороне в середине .

Пусть . Тогда

Поскольку равносторонний, то .

Так как , то

Функция достигает максимума при и может быть бесконечно близко к 0, поэтому площадь может быть в интервале .

Пусть у некоторой правильной пирамиды с основанием известно боковое ребро Давайте посчитаем, при какой длине стороны основания пирамида будет обладать наибольшим объемом.

Пусть — центр основания

Теперь это функция от Возьмем производную по Она зануляется при и в этой точке производная меняет свой знак с + на -. Значит, это точка максимума и объем максимальный при .

Вернёмся к задаче. Пирамида, вершинами которой служат точки касания и центр сферы, является правильной треугольной пирамидой с ребром . Значит, чтобы объем был максимальным, нужно добиться того, чтобы сторона ее основания была .

Пусть исходная пирамида с основанием — центр вписанной сферы. точки касания сферы с плоскостями , , соответственно.

Из точек и проведем перпендикуляры к , в силу симметрии они попадут в одну точку .

По доказанному ранее и при этом . Значит, , но тогда угол прямой, а его нам и нужно было найти.

Так как пирамида правильная, то в основании лежит квадрат с диагоналями , пусть — его центр. Тогда является высотой пирамиды, так что из условия про косинус находим

Плоскость сечения параллельна , поэтому содержит параллельную прямую из плоскости . Поэтому сечение может быть двух видов:

1 случай) треугольник , где лежит внутри .

Тогда (строго меньше единицы, потому что сечение параллельно , содержать не может). Пусть .

Теперь найдём, чему равняется (то есть радиус вписанной окружности)

2 случай) Пятиугольное сечение плоскостью , где лежит внутри . Заметим, что и поэтому и

Пусть

Тогда из подобий

и

получаем

Значит,

Также имеем

Откуда

Так как

Тогда по теореме Пифагора

Воспользуемся формулой

Тогда

Поскольку около параллелепипеда описана сфера, этот параллелепипед — прямоугольный. Обозначим его рёбра, исходящие из одной вершины, через , и . Диагонали параллелепипеда равны диаметру описанной сферы, а объём равен . Из условия задачи следует, что .

По неравенству Коши:

Так как равенство достигается только в случае , то и площадь поверхности:

Введём систему координат. Центр основания . , , , , . Обозначим . Рассмотрим вектор , откуда координаты точки . Аналогично координаты точки . Пусть — точка пересечения прямых , и (эти три прямые пересекаются в одной точке, поскольку точка пересечения прямых и лежит в пересечении плоскостей и , то есть на ). Поскольку — биссектриса треугольника , , откуда .

Пусть . Тогда координаты точки . По условию . То есть скалярное произведение векторов , равно 0.

откуда , то есть .

Осталось заметить, что , откуда

То есть .