Стереометрия на ПВГ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Боковые рёбра 
и 
треугольной пирамиды 
взаимно перпендикулярны. Точка 
лежит на основании пирамиды
на расстоянии 
от ребра 
на расстоянии 
от ребра 
и на расстоянии 
от ребра 
Какое наименьшее
значение может иметь объём пирамиды 
при этих условиях?
Источники:
Подсказка 1
Сначала надо поработать с расстояниями от D до ребер, которые даны по условию. Удобнее всего будет работать через расстояния от D до боковых плоскостей, их можно вычислить.
Подсказка 2
В этой задаче нельзя не ввести координаты. Пусть основанием будет точка S. Угадайте, какие прямые будут осями?
Подсказка 3
Чтобы оценить объём, в данном случае нужно оценить произведение боковых рёбер. Чтобы получить про них какую-то информацию, поработайте с уравнением плоскости основания. На ней лежат целых четыре точки с красивыми координатами.
Опустим перпендикуляры 
из точки 
на плоскости 
и 
соответственно. Обозначим 
Согласно условию составим систему уравнений
Отсюда находим 
Обозначим длины рёбер 
и 
через 
и 
соответственно.
Лемма: 
Доказательство: Введём систему координат с началом в точке 
как на рисунке. Запишем уравнение плоскости 
Так как плоскость не проходит через начало координат, то 
Значит, можно поделить на 
Получим:
Теперь поставим в уравнение плоскости точки, в ней лежащие, чтобы найти коэффициенты 
Итого получим, что 
А значит уравнение плоскости
Подставив туда координаты принадлежащей этой плоскости точки 
получим 
Лемма доказана.
Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для трёх переменных получаем:
причём равенство имеет место при 
Объём пирамиды 
поэтому 
Равенство имеет место при 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
