Стереометрия на ПВГ

Опустим перпендикуляры из точки на плоскости и соответственно. Обозначим Согласно условию составим систему уравнений

Отсюда находим Обозначим длины рёбер и через и соответственно.

Лемма:

Доказательство: Введём систему координат с началом в точке как на рисунке. Запишем уравнение плоскости

Так как плоскость не проходит через начало координат, то Значит, можно поделить на Получим:

Теперь поставим в уравнение плоскости точки, в ней лежащие, чтобы найти коэффициенты Итого получим, что А значит уравнение плоскости

Подставив туда координаты принадлежащей этой плоскости точки получим Лемма доказана.

Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для трёх переменных получаем:

причём равенство имеет место при Объём пирамиды поэтому Равенство имеет место при