Стереометрия на ПВГ

Пункт а), подсказка 1

Первое на что хочется в такой задаче обратить внимание — это неравенства треугольника. С них и начнём: две грани имеют общее ребро длиной 2, но можем ли мы составить из имеющихся длин два треугольника, у которых будет сторона 2?

Пункт б), подсказка 1

Много ли у нас вариантов составить треугольники-грани со стороной 2? Выходит что существует всего два треугольника. Будем пробовать построить наш тетраэдр!

Пункт б), подсказка 2

Назовём тетраэдр SABC. Пусть ребро АС = 2. Мы однозначно можем определить и противоположное ему ребро SB. Также, пусть AB = 5, BC = 4. Поработайте с неравенством треугольника для каждой грани, чтобы определить однозначно длины оставшейся пары рёбер.

Пункт б), подсказка 3

На первый взгляд всё сходится, все треугольники-грани существуют, но удастся ли совместить их так, чтобы получился тетраэдр?

Пункт б), подсказка 4

Попробуем оценить длину SC! Для этого построим сначала высоты из вершин S и C в треугольниках △SAB и △CAB соответственно. Затем проведём плоскость перпендикулярную АВ — ребру противоположному SC. Теорема Пифагора поможет нам посчитать длины этих высоты SH и CK, а также определить положение точек Н и К на АВ

Пункт б), подсказка 5

Попробуйте оценить теперь, какую длину может иметь S'C' — проекция ребра SC на проведённую плоскость?) Используйте для этого то, что т.к. проведённые ранее высоты также перпендикулярны AB, их проекции на эту плоскость будут равны самим высотам.

Пункт б), подсказка 6

Итак, получается, что S'C' лежит между |SH - CK| и |SH + CK|. Теорема Пифагора и значение НК помогут нам окончательно, числами, ограничить SC. Вписывается ли известное значение 11.1 в эти ограничения?