Стереометрия на ПВГ

Пусть у некоторой правильной пирамиды с основанием известно боковое ребро Давайте посчитаем, при какой длине стороны основания пирамида будет обладать наибольшим объемом.

Пусть — центр основания

Теперь это функция от Возьмем производную по Она зануляется при и в этой точке производная меняет свой знак с + на -. Значит, это точка максимума и объем максимальный при .

Вернёмся к задаче. Пирамида, вершинами которой служат точки касания и центр сферы, является правильной треугольной пирамидой с ребром . Значит, чтобы объем был максимальным, нужно добиться того, чтобы сторона ее основания была .

Пусть исходная пирамида с основанием — центр вписанной сферы. точки касания сферы с плоскостями , , соответственно.

Из точек и проведем перпендикуляры к , в силу симметрии они попадут в одну точку .

По доказанному ранее и при этом . Значит, , но тогда угол прямой, а его нам и нужно было найти.