Стереометрия на ПВГ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через точки 
, лежащие соответственно на ребрах 
правильной четырехугольной пирамиды 
–
вершина), проведена плоскость. Известно что 
, 
и площадь треугольника 
равна 
Найдите площадь
треугольника 
.
Источники:
Подсказка 1
В правильной четырехугольной пирамиде очень удобно вводить координаты(осями будет высота и диагонали основания).
Подсказка 2
Давайте введём их так: O(0,0,0), B(1,0,0), A(0,1,0), D(−1,0,0), C(0,− 1,0), S(0,0,z). Но для чего же мы это делаем? Спрашивают у нас информацию про площадь. Подумайте, чем связаны треугольники, про которые идёт речь в условии?(один из них в вопросе, а у другого мы знаем площадь)
Подсказка 3
Верно, из-за одинакового угла, мы можем записать для них соотношение для сторон. Но для этого их надо найти! Попробуйте ввести ещё отношение SL/SD=k. Для решения вам нужно будет выразить координаты оставшихся точек. Также давайте поймём, что прямые LN, MK и SO пересекаются в одной точке Y.
Подсказка 4
Заметим, что SO - биссектриса в треугольнике SNL, а значит, можно применить её свойство. Для чего же..? Чтобы найти координаты точки Y и воспользоваться оставшимся условием!
Подсказка 5
Давайте попробуем вычислить ещё отношение SM/SA=l. Тут на помощь должно прийти условие перпендикулярности MK и NL(но на самом деле MY), ведь тогда скалярное произведение соответствующих векторов равно 0. Вам нужно только всё это технически реализовать и не забыть, для чего мы всё это делали.
Введём систему координат. Центр основания 
. 
, 
, 
, 
, 
. Обозначим 
.
Рассмотрим вектор 
, откуда координаты точки 
. Аналогично координаты точки
. Пусть 
— точка пересечения прямых 
, 
и 
(эти три прямые пересекаются в одной точке, поскольку
точка пересечения прямых 
и 
лежит в пересечении плоскостей 
и 
, то есть на 
). Поскольку 
— биссектриса
треугольника 
, 
, откуда 
.
Пусть 
. Тогда координаты точки 
. По условию 
. То есть скалярное произведение векторов
, 
равно 0.
откуда 
, то есть 
.
Осталось заметить, что 
, откуда
То есть 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
