Тема . ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Параметры на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#100193

Андрей выбирает случайным образом целое число $a$ из отрезка $[−5;6]$ и после этого решает уравнение

3 2 3x − (3a− 4)x − (2a− 3)x +a+ 2= 0.

Найдите вероятность того, что Андрей получит три различных корня, из которых как минимум два будут целыми, если точно известно, что при вычислениях он не ошибается.

Источники: ПВГ - 2020, 11.4 (pvg.mk.ru))

Показать ответ и решение

Так как

3 2 ( 2 ) 3x − (3a− 4)x − (2a− 3)x+ a+ 2= (x+ 1) 3x − (3a − 1)x+ a+2 ,

то $x= −1$ будет корнем при всех $a$ . Решим в целых числах уравнение

2 3x − (3a− 1)x+ a+ 2= 0

Его удобно записать в виде $a(3x− 1)=3x2+ x+ 2$ или

3x2+ x+ 2 x(3x− 1)+ 23(3x− 1)+ 83 2 8 a = -3x−-1--= -------3x-− 1------ =x + 3 + 3(3x−-1)

Поэтому $3a =3x+ 2+ 38x−-1$ , и значит, $3x− 1$ равно одному из чисел $±1,±2,±4,±8$ . В итоге получаем целые решения: $x =1$ , если $a =3; x =3$ , если $a= 4; x =0$ , если $a= −2; x =− 1$ если $a= −1$ .

Таким образом, при всех $a$ , кроме а равному $3,4,− 2$ и -1 , исходное уравнение имеет один целый корень $x =− 1$ а других целых корней не имеет.

При $a= 3$ уравнение имеет целые корни $x =− 1,x =1$ и корень $x= 53$ .

При $a= 4$ уравнение имеет целые корни $x =− 1,x =3$ и корень $x= 23$ .

При $a= −2$ уравнение имеет целые корни $x= −1,x =0$ и корень $x= − 73$ .

При $a= −1$ уравнение имеет два корня: $x= −1$ и $x =− 13$ .

Поэтому три различных корня, из которых два будут целыми, получаются в 3 случаях из 12. Вероятность равна $312 = 14$ .

Ответ:

$1 4$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Параметры на ПВГ

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ