Параметры на ПВГ

Положим . Тогда уравнение принимает вид . Нужно найти все целочисленные значения , при которых существует рациональное решение .

При решений нет. Рассмотрим вначале случай , т.е. . Тогда поскольку при любом натуральном

то можем считать, что в представлении числа и натуральные. Значит, числа и имеют одни и те же простые делители.

Пусть - общий простой делитель этих чисел, тогда

где и - натуральные. Исключая из левых частей уравнений этой системы, получаем

Значит - натуральное, а -делитель 9 , т.е. . Поэтому

где и - натуральные и . Так как

a не делится на 3 , то и .

Для отрицательных решение проводится почти аналогично. Положим . Тогда исходное уравнение будет записываться в виде:

Случай очевиден, поскольку решение . Пусть . Аналогично предыдущему показывается, что в представлении числа и натуральные. Опять предположив, что - общий простой делитель этих чисел, получим

и также сделаем вывод, что . Поэтому

где и - натуральные и . Так как

а не делится на 3 , то и или , но последнее уравнение не имеет натуральных решений.

Поэтому все решения описываются уравнениями: и , решив которые приходим к ответу.

По теореме Виета для первого уравнения:

Из этой же теоремы для второго уравнения:

Откуда получим, что Далее найдем

Наконец, найдем

Пусть Из условия Тогда заметим, что

В силу того, что

(1)

Пусть Тогда исходное равенство можно переписать в следующем виде:

Следовательно, максимум меньше значит каждое из выражений из тоже меньше следовательно исходное неравенство равносильно системе

1) Если то третье неравенство выполнено при любом Тогда согласно условию, что ответ промежуток длины получаем, что выражение выполняется при

2) Если то третье неравенство верно при

Т.к. то т.е. не подходит под условие задачи. Тогда

ОДЗ:

Мы знаем, что , и . Значит,

Заметим, что если , то правая часть может быт сколь угодно большим числом (так как любое), а левая часть ?!

Значит, если при любом значении есть хотя бы одно решение, то . Тогда есть решение для любого .

Уравнение можно переписать так:

График правой части представляет собой параболу ветвями вниз, пересекающую ось в точках и . Рассмотрим теперь график левой части при разных значениях параметра.

• . Имеем «галочку» ветвями вниз с вершиной в точке , правая ветка которой при данных значениях параметра пересекает параболу дважды.
• . Горизонтальная прямая, совпадающая с осью Пересечение нашли выше, получаем также два решения.

• . Ветви «галочки» направлены вверх, но только правая ветвь пересекается с параболой, поэтому решения есть только в случае

  
  

  Необходимо и достаточно проверить для меньшего корня, тогда будет выполнено и для большего

  
  
  
  

  После пересечения остаётся только потому что

• . В каждом случае ровно одно решение, поскольку коэффициенты наклона ( и ) больше модулей наклона касательных в и , которые равны
• . Здесь ветви направлены вверх и каждая пересекает дугу параболы выше оси абсцисс, то есть всегда два решения.

• . Решаем аналогично , здесь , потому что пересекать может только левая ветка галочки.

  

  Решения могут быть только при неотрицательном дискриминанте

  
  

  Проверим для большего корня (для меньшего тогда тоже выполнится)

  

  Должно быть , но уже это неверно для полученного полуинтервала для неотрицательного дискриминанта. В итоге в этом случае решений нет.

Так как знаменатель функции

равен

и всегда положителен, то наибольшему значению функции соответствует наименьшее значение знаменателя. При этом функцию можно трактовать как сумму двух расстояний: от точки до точки и от точки до точки . Мы специально выбрали точки так, что они лежат по разные стороны от оси абсцисс, тогда наименьшее значение суммы достигается в точке пересечения прямой и оси абсцисс. Это будет точка , но вычислять ее нет необходимости, так как наименьшее значение функции просто равно длине отрезка

Поэтому наибольшим значением функции является . Значит,

Так как

то будет корнем при всех . Решим в целых числах уравнение

Его удобно записать в виде или

Поэтому , и значит, равно одному из чисел . В итоге получаем целые решения: , если , если , если если .

Таким образом, при всех , кроме а равному и -1 , исходное уравнение имеет один целый корень а других целых корней не имеет.

При уравнение имеет целые корни и корень .

При уравнение имеет целые корни и корень .

При уравнение имеет целые корни и корень .

При уравнение имеет два корня: и .

Поэтому три различных корня, из которых два будут целыми, получаются в 3 случаях из 12. Вероятность равна .

Решение может существовать только если

поскольку иначе левая часть уравнения или не определена, или строго положительна.

При уравнение имеет вид

Следовательно, при получаем решение

Если то

Поэтому минимум функции

не меньше С другой стороны абсолютное значение выражения

на полуинтервале заведомо не больше

Поэтому при решений нет.

Пользуясь методом вспомогательного аргумента, приходим к уравнению

где

Если при любых то найдётся, например, решение А если же при каком-то выполнено то у уравнения решений нет, так как косинус по модулю не больше единицы.

Неравенство выполнено хотя бы при каком-то если

В итоге получаем, что

После замены нам требуется ровно три различных положительных корня от уравнения

Первое решение.

Построим графики

в координатах и посмотрим, когда горизонтальная прямая пересекает части парабол в области ровно в трёх точках:

Это происходит строго между прямыми, показанными на графике. Из представления парабол выше очевидно, что горизонтальными касательными к параболам являются прямые и . Пересекаются параболы при

При получаем

При получаем

Второе решение.

Заметим, что в случае наличия корней у уравнений

и

их произведения имеют разные знаки, поэтому всего быть положительных корней не может (иначе оба коэффициента были бы положительны по теореме Виета). А сумма же корней всегда положительна, поэтому двух отрицательных корней быть не может.

Значит, нужно обеспечить наличие двух корней у обоих уравнений. Это обеспечивается условием на положительность дискриминантов

При среди корней есть два нуля, а иначе за счёт теоремы Виета у одного будут два положительных корня, у другого — один положительный и один отрицательный.

Итак, имеем три положительных корня и один отрицательный. Стоит ещё проверить, могут ли положительные корни в разных скобках совпасть, то есть при одном и том же верно

Отсюда

Эти значения исключим из ответа.

Неравенство равносильно следующим неравенствам

(a) Если то получаем неравенство удовлетворяющее требованию задачи, когда

Выражение должно быть меньше так как тогда решения будут принадлежать интервалу

(b) Если же то получаем неравенство

удовлетворяющее требованию задачи, когда

С использованием формулы перехода получаем

Если , то решений нет.

Если , то решение

Если , то решение

ОДЗ:

Из первого уравнения имеем Подставим в неравенство:

Поскольку функция в левой части монотонно возрастает, то меньше 4 она будет при всех до момента равенства. А равенство достигается при

В итоге с учётом ОДЗ , откуда , причём для каждого значения существует ровно одна пара

Пусть Рассмотрим функцию

По неравенству о средних

Тогда

Значения достигаются при Следовательно, множество значений функции

есть полуинтервал

Так как , то

Заметим также, что

Следовательно, левая часть равенства

Таким образом, левая часть равна , если

Тогда при решением уравнения является , а при уравнение не имеет решений.

По свойствам логарифмов и степеней уравнение переписывается в виде

Перенесём вычитаемое направо, поделим обе части на 3 и на обе степени троек:

Пусть Эта функция монотонно возрастает на всей области определения как произведение возрастающих функций, поэтому

Три решения будут в случае касания для и в случае когда поскольку совпадают вершины параболы и "уголка"

При замене система превращается в (при этом количество решений после линейной взаимнооднозначной замены будет такое же):

Предположим, что является решением системы. Тогда тоже подходит в систему. Если эти решения не совпадают, то у системы будет чётное число решений. Одно решение будет тогда и только тогда, когда оно будет иметь вид . Тогда из второго уравнения должно быть , а из первого . Получаем, что для наличия одно решения необходимо . Проверим, есть ли другие решения при этих значениях :

• При получим

  

  Из первого уравнения , а из второго уравнения , поэтому решением будет только .

• При получим

  

  Помимо решения имеются также пары или , так что решений уже больше одного.

Таким образом, подойдёт только , то есть или .

Попробуем разложить Заметим, что корень данного выражения, значит, можно вынести

Второй множитель раскладывается на Тогда

Попробуем разложить правую часть:

Таким образом получили уравнение, которые можно анализировать:

Разберём случаи:

1) , то уравнение принимает вид Тогда любой, в частности неотрицательный. - решение.

2) , то уравнение принимает вид Такое уравнение не имеет корней. Значит, данное значение не подходит.

3) , то уравнение можно переписать в таком виде:

Остаётся найти все те значения a, при которых выполнено неравенство

По методу интервалов получаем

Объединяя с предыдущими ответами получаем ответ

ОДЗ: . Поэтому можем вместо подставить :

Домножив в обеих дробях и числитель, и знаменатель на , получаем:

Но это ровно наше исходное уравнение, так как для косинуса верно, что

Значит, у нас есть симметрия: если есть корень , то есть и корень . Тогда единственный корень при , то есть .

1.

2.

Мы получили 4 подозрительных значения для , осталось проверить каждое из них:

1.

Получаем единственное решение . Значит, подходит.

2.

При левая функция равна , а правая . И если мы найдём ещё один отрицательный такой, что значение левой функции будет больше, чем значение правой, то из их непрерывности (во всех точках кроме ) будет следовать, что уравнение имеет ещё один корень. Подберём такое значение. Пусть , отрицательный корень этого уравнения - . При подстановке его в уравнение правая функция будет точно положительной, а левая равна , как мы и искали.

Значит, не подходит.

3.

Будем доказывать аналогичным способом, что и в предыдущем случае. При получаем . Найдём такой , что значение правой функции меньше значения левой. Хотим . При выполняется желаемое.

4.

Правая часть всегда , а левая . Тогда равенство выполняется, только при . Выражая из , получаем единственный корень . Значит, подходит.

Изобразим решение системы на координатной плоскости. Первое уравнение системы задает объединение двух дуг парабол: и , которое представляет из себя замкнутую линию. Второе уравнение системы при определяет на плоскости прямую , а при — два луча и с общим началом в точке . Прямая пересекает дуги парабол в точках и . Поэтому для того, чтобы система имела решение, необходимо и достаточно, чтобы общее начало лучей лежало на отрезке .