Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Параметры на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#91245Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

(x+1)2- (x2 − 1) 2x2+1 + a2− 4= 2a cos--2x-

имеет единственное решение.

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте найти симметрию в данном уравнении.

Подсказка 2

Можем ли мы заменить x на 1/x?

Подсказка 3

Воспользуйтесь симметрией косинуса.

Подсказка 4

Корню x соответствует корень 1/x. Тогда, чтобы решение было единственным, каким должен быть x?

Подсказка 5

Не забудьте подставить для проверки найденные a.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x⁄= 0$ . Поэтому можем вместо $x$ подставить $1 x$ :

(1+1x)2 ( ( )2 ) 21+(1x)2 +a2− 4= 2acos -1x--− 1 2 ⋅ 1x

Домножив в обеих дробях и числитель, и знаменатель на $2 x$ , получаем:

(x+1)2- ( 2) 2x2+1 + a2− 4= 2a cos 1-− x 2x

Но это ровно наше исходное уравнение, так как для косинуса верно, что $cos(α)= cos(−α)$

Значит, у нас есть симметрия: если есть корень $x0$ , то есть и корень $-1 x0$ . Тогда единственный корень при $x0 = 1- x0$ , то есть $x0 = ±1$ .

1.

$x =1$

22 +a2− 4= 2a

[ a= 0 a= 2

2.

$x =− 1$

0 2 2 +a − 4= 2a

a2− 2a − 3= 0

[ a= −1 a= 3

Мы получили 4 подозрительных значения для $a$ , осталось проверить каждое из них:

1.

$a =0$

(x+21)2- 2x +1 − 4 =0

2 (x+2-1)- =2 x +1

x2− 2x +1 =0

Получаем единственное решение $x =1$ . Значит, $a =0$ подходит.

2.

$a =2$

(x+12)2 ( x2− 1) 2 x+1 = 4cos -2x--

При $x= −1$ левая функция равна $20$ , а правая $4$ . И если мы найдём ещё один отрицательный $x$ такой, что значение левой функции будет больше, чем значение правой, то из их непрерывности (во всех точках кроме $0$ ) будет следовать, что уравнение имеет ещё один корень. Подберём такое значение. Пусть $x2−1 π 2x = 2$ , отрицательный корень этого уравнения - $π− √π2+4 x = ---2---$ . При подстановке его в уравнение правая функция будет точно положительной, а левая равна $0$ , как мы и искали.

Значит, $a =2$ не подходит.

3.

$a =− 1$

(x+1)2 ( 2 ) 2 x2+1 − 3= −2cos x2−x-1

Будем доказывать аналогичным способом, что и в предыдущем случае. При $x =− 1$ получаем $22 − 3> −2$ . Найдём такой $x$ , что значение правой функции меньше значения левой. Хотим $x2−1 2x = π$ . При $2π+√4π2+4- x= 2$ выполняется желаемое.

4.

$a =3$

( ) 2(xx+21+)21-+5 =6cos x2−-1 2x

Правая часть всегда $≥ 6$ , а левая $≤6$ . Тогда равенство выполняется, только при $(x+1)2 ( ) 2 x2+1 + 5= 6cos x22−x1 = 6$ . Выражая $x$ из $(x+21)2- 2 x+1 +5 =6$ , получаем единственный корень $x =− 1$ . Значит, $a= 3$ подходит.

Ответ: 0; 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#36667Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых для любого значения $b$ система

{ (x+ 1)2+ |y − 1|= 2; y = b|2x+ 1|+a.

имеет решения.

Источники: ПВГ-2013, 11.4 (см.pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первом уравнении системы явный намек на параболу, раскройте модуль и изобразите решения уравнений системы в координатной плоскости.

Подсказка 2

Второй график будет галочкой, которую можно двигать вверх-вниз и ветви которой могут иметь любой угол наклона. Как надо зафиксировать галочку, чтобы для любого b было хотя бы одно решение?

Подсказка 3

Рассмотрите точки пересечения графика верхнего уравнения с осью ординат.

Показать ответ и решение

$PIC$

Изобразим решение системы на координатной плоскости. Первое уравнение системы задает объединение двух дуг парабол: $y1 = 3− (x +1)2,y1 ≥ 1$ и $y2 = (x+ 1)2 − 1,y2 < 1$ , которое представляет из себя замкнутую линию. Второе уравнение системы при $b= 0$ определяет на плоскости прямую $y = a$ , а при $b⁄= 0$ — два луча $y = b(2x+ 1)+a,x≥ − 12$ и $y = −b(2x+1)+ a,x <− 12$ с общим началом в точке $( ) − 12,a$ . Прямая $x =− 12$ пересекает дуги парабол в точках $( ) A − 12,− 34$ и $( ) B − 12,114$ . Поэтому для того, чтобы система имела решение, необходимо и достаточно, чтобы общее начало лучей лежало на отрезке $AB$ .

Ответ:

$[− 3;11] 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#91859Максимум баллов за задание: 7

Найдите $a$ и $b$ такие, что многочлен $x2013+ x99+ ax+ b$ делится нацело на $x2− x+ 1$ .

Источники: ПВГ 2013, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что мы иногда делаем, когда хотим доказать, что какое-то число делится на a? Рассматриваем числа по модулю a! Давайте сделаем такой же трюк, только с многочленами.

Подсказка 2

Начнём с малого. Очевидно, что x² - x + 1 ≡ 0, значит, x² ≡ x - 1. Самостоятельно посмотрите на степени x вплоть до x⁶.

Подсказка 3

Получаем, что x³ ≡ -1, x⁴ ≡ -x, x⁵ ≡ -x + 1, x⁶ ≡ 1. Какой вывод из этого можно сделать?

Подсказка 4

Верно! Остатки степеней х по модулю x² - x + 1 зацикливаются с циклом длины 6. Как же теперь посчитать остатки для x²⁰¹³ и x⁹⁹?

Подсказка 5

С этой задачей вы точно справитесь! Докажите, что x²⁰¹³ ≡ -1 ≡ x⁹⁹. Вернёмся к тому, что от нас требуют.

Подсказка 6

Получаем, что многочлен ax + (b-2) должен делиться на многочлен x² - x + 1 при всех вещественных х. Кажется, если ax + (b-2) — невырожденное линейное уравнение, возникает много проблем. Докажите это сами, а с вырожденностью делать то особо нечего... Успехов!

Показать ответ и решение

Везде ниже будем вести рассуждения по модулю многочлена $x2− x +1.$

0 x ≡ 1,

1 x ≡ x,

x2 ≡x − 1,

x3 ≡ x⋅x2 ≡ x(x − 1)= x2− x ≡ (x− 1)− x = −1,

Аналогично далее находим

x4 ≡ −x,

x5 ≡ −x+ 1,

x6 ≡ 1.

Таким образом, цикл повторяется каждые 6 шагов.

Значит, надо только лишь найти остатки $2013$ и $99$ по модулю $6$ :

Следовательно,

2013 6⋅335+3 3 x = x ≡x ≡ −1,

99 6⋅16+3 3 x = x ≡x ≡ −1.

Теперь подставим эти значения в многочлен $P (x)$ :

P (x)≡ −1 − 1+ ax+ b= ax +(b− 2).

Для того чтобы $P(x)$ делился на $x2− x+ 1$ , необходимо, чтобы остаток $ax+ (b− 2)$ был нулевым для всех $x$ , а отсюда сразу же:

a= 0

b− 2= 0 =⇒ b= 2.

Ответ:

$a =0,b= 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#39888Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых графики функций

2x2−4x+3 3 x2− 2x+3 f(x)= 3 + a и g(x)= a⋅3 − 5

имеют ровно три общие точки.

Источники: ПВГ-2012, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если графики двух функций имеют три общие точки, то как можно по-другому переписать это условие?

Подсказка 2

Да, можно записать равенство двух функций, причем полученное уравнение должно иметь ровно три корня. Какой обычно самый распространенный шаг при решении показательных уравнений?

Подсказка 3

Стоит сделать замену t. И что еще можно сделать, чтобы не пришлось думать об обратной замене?

Подсказка 4

Стоит проанализировать замену — сколько будет соответствовать иксов каждому из ее значений при обратной замене. Тогда какие значения t нам подойдут?

Подсказка 5

Нужно, чтобы вышло нечётное количество х. На какое t замены стоит обратить внимание?

Подсказка 6

Поскольку только при одном значении t у нас будет ровно один х, то нам обязательно нужно, чтобы это t было корнем полученного после замены квадратного уравнения. И нужно ещё одно t, которое даст ещё два корня.

Подсказка 7

Для замены t=3^(x-1)^2 нам подойдут t1=1 и t2>1. Осталось проверить, при каких а t1=1 будет корнем и выбрать из них те, при которых второй корень будет >1.

Показать ответ и решение

Перепишем равенство функций в виде

2(x−1)2+1 3 (x− 1)2+2 3 +a =a ⋅3 − 5

Или при $t= 3(x−1)2 ≥ 1$

3t2− 9at+ a3+ 5= 0

Это квадратное уравнение относительно $t$ должно иметь решение $t= 1$ (потому что иначе для решения $t1 > 1$ $log3t1 =(x− 1)2 > 0$ и относительно $x$ будет два решения, то есть если $t= 1$ не корень, то решений чётное количество). Второе решение же должно быть строго больше одного (отсюда как раз и получатся ещё два решения). Итак, подставим $x =1 ⇐ ⇒ t= 1$ :

√-- 3− 9a +a3+ 5= 0 ⇐⇒ (a − 1)(a2+ a− 8) =0 ⇐ ⇒ a =1,a= −1±--33- 2

При таких $a$ решением будет $t = 1 1$ . Чтобы второй корень $t 2$ был больше единицы, необходимо и достаточно $9a =t + t >2 ⇐⇒ a> 2 3 1 2 3$ , поэтому остаются только $a= 1,a = −1+√33- 2$ .

Ответ:

$1;−1+√33 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#73117Максимум баллов за задание: 7

Найдите все положительные значения параметра $a,$ при которых среди чисел последовательности

2 ----10---- xn = −n + 10n+22+ |5n− 31|+ a, n= 1,2,...

есть ровно два максимальных элемента.

Источники: ПВГ 2012

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На первый взгляд сложно сказать что-то определённое, но нас интересуют максимумы. Если разбить формулу на 2 части: с параметром и без, то у нас получатся парабола и обратная функция. Что можно сказать про их максимумы по отдельности?

Подсказка 2

Оказывается, вершина параболы в n=5, а модуль в функции от параметра принимает минимальное значение в n=31/5 (число тем больше, чем меньше знаменатель). Точки максимума близки друг к другу, что это даёт?

Подсказка 3

Значит, максимум всей функции лежит где-то на отрезке между 5 и 31/5. (Поскольку за пределами этого отрезка обе функции имеют одинаковую монотонность). При этом значение при n=5 больше, чем при n=7. Если у последовательности 2 точки максимума, то это обязательно n=5 и n=6. Осталось только приравнять их между собой.

Показать ответ и решение

Рассмотрим функции $f(x)= −x2+ 10x+ 22$ и $g(x)= --10---. |5x−31|+a$ Функция $f$ возрастает на промежутке $(− ∞;5)$ и убывает на промежутке $(5;+∞ ),$ а фунция $g$ при всех значениях параметра $a$ возрастает на промежутке $31 (−∞; 5 )$ и убывает на промежутке $31 (5 ;+ ∞)$ (при этом $31 31 f( 5 + x)= f( 5 − x)$ ).

Следовательно, максимальными членами последовательности могут быть $10- x5 = 3+ 6+a$ и $10- x6 = 2+ 1+a.$ Так как последовательность имеет два максимальных члена, получаем равенство $-10- -10- 2 3+ 6+a = 2+ 1+a ⇒ a + 7a− 44 =0 ⇒ a= −11$ или $a =4.$

Ответ:

$a =4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#104257Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ строго между двумя корнями уравнения

2 2 ax + x+2a = 0

находится ровно один корень уравнения

2 2 ax +2x− 2a = 0

и строго между двумя корнями второго уравнения находится ровно один корень первого уравнения?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что, если a = 0?

Подсказка 2

Теперь поделим на a ≠ 0.

Подсказка 3

Что можно сказать о точках пересечения этих графиков?

Показать ответ и решение

Заметим, что $a= 0$ не является решением задачи, так как в этом случае каждое из уравнений имеет ровно один корень. Положим $a ⁄=0$ и, разделив каждое из уравнений почленно на $a$ , обозначим

2 x f(x)=x + a +2a g(x)= x2+ 2x− 2a. a

Пусть $x0$ — абсцисса общей точки графиков функций $y =f(x)$ и $y = g(x)$ .

$PIC$

Тогда, решив уравнение $f(x)=g(x)$ , найдем, что $x0 = 4a2$ .

Условие задачи будет выполнено в том и только в том случае, когда

f(x0) <0

( ) 2a 8a3+ 3 <0

( √- ) a∈ − 33;0 2

Ответ:

$(− 3√3;0) 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#47917Максимум баллов за задание: 7

При всех значениях параметра $a$ решите уравнение

ax+3 4x2−ax+9- 2x2+3 + 2 x2+3 = 10.

Источники: ПВГ-2006 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Какая некрасивая дробь в степени, еще и повторяется, давайте сделаем замену! t = 2^((ax + 3)/(x^2 + 3))

Подсказка 2!

Попробуйте понять, как представляется тогда второе слагаемое! Это 16/t!

Подсказка 3!

Осталось найти t и разобраться с вытекащим а)

Показать ответ и решение

Обозначим $t= 2axx+2+33-$ , тогда

4(x2+3) − ax+3 16 t+ 2 x2+3 ⋅2 x2+3 = 10 ⇐ ⇒ t+ -t =10

Получаем $t∈ {2;8} ⇐⇒ axx2++33 ∈ {1;3}$ , то есть у нас такая совокупность (два случая):

[ [ ax+3 =x2 +3 ⇐⇒ ax= x2 ax+3 =3x2+ 9 3x2− ax +6= 0

У первого уравнения могут быть решения $x =0,x= a$ , а у второго при $2 a ≥ 72$ есть решения $a±√a2−-72- x = ---6----$ . Важно заметить, что среди корней уравнений нет общих, потому что при подстановке $x =0$ или $x= a$ во второе уравнение его левая часть будет положительна, а не равна нулю. Тогда осталось учесть только совпадения корней в рамках каждого из уравнений и записать ответ.