Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Алгебраические текстовые задачи на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#44154Максимум баллов за задание: 7

Общий вес рюкзаков двух туристов за время похода уменьшился на $121% 3$ . При этом вес рюкзака первого туриста уменьшился на $15%$ , а вес рюкзака второго — на $10%$ . Известно также, что в конце похода рюкзак второго туриста весил на 1,2 кг больше, чем рюкзак первого туриста в начале похода. Определите первоначальный вес рюкзаков каждого из туристов.

Источники: ПВГ-2014, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, у нас очень много условий, завязанных на весах двух рюкзаков, давайте составим с ними уравнения! Обозначим веса рюкзаков за х и у...

Подсказка 2!

2) Запишем веса рюкзаков в конце похода? Это 85x/100 и 90y/100. А вот теперь попробуйте записать первое условие о том, что их суммарный вес уменьшился!

Подсказка 3!

3) Да, мы получим, что суммарный вес стал (x+y)*(300-37)/300! Таким образом мы с двух сторон подсчитали, как изменился вес двух рюкзаков суммарный. Осталось только дорешать!

Показать ответ и решение

Пусть изначально веса рюкзаков были $x,y$ для первого и второго соответственно. Тогда после уменьшения они стали $x⋅0.85,y ⋅0.9$ , откуда выполнено

300− 37 85 90 8 7 7 (x+ y)⋅-300--= 100x+ 100y ⇐⇒ x⋅300 = y⋅300 ⇐⇒ 8x= 7y ⇐ ⇒ x = 8y

Также мы знаем, что

9 6 6 7 6 10y = 5 + x= 5 + 8y ⇐ ⇒ y = 5 ⋅40= 48,x= 42

Ответ:

$42,48$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#48588Максимум баллов за задание: 7

Два брата родились в один день, но в разные годы. Оказалось, что в $2014$ году каждому из них исполнилось столько лет, какова сумма цифр его года рождения. Определите год рождения каждого из братьев.

Источники: ПВГ-2014, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие два основных случая стоит рассмотреть в этой задаче? Как можно свести ее к перебору, зная что-то про возраст на 2014 год? Как можно оценить возраст, если он равен сумме цифр?

Подсказка 2

Да, можно рассмотреть два случая-если человек родился в 20 веке, и если родился в 21. Что осталось неизвестным? Только последние две цифры рождения. Составьте и решите уравнение, и задача будет решена!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если какой-то из братьев родился в $---- 19xy$ году, то по условию получаем уравнение $1900+ 10x+ y+ (1 +9+ x+ y)= 2014⇔ 11x+ 2y = 104$ . Поскольку $x$ и $y−$ цифры, то решение этого уравнения единственное: $x= 8,y =8$ .

Если же кто-то из братьев родился в $---- 20xy$ году, то аналогично получаем уравнение $11x +2y = 12$ , откуда $x =0,y = 6$ .

Второе решение.

Начнём с $2000,...2013$ годов. Сопоставим год и сумму цифр вручную


Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013

Сумма цифр	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	3	4	5	6

Возраст к 2014	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

И подходит только $2006$ год рождения. Рассмотрим оставшиеся

Пусть брат родился в $197∗$ или ранее в $20$ -м веке (рассматривать $19$ не имеет смысла, поскольку сумма цифр точно не больше $36$ ). Тогда сумма цифр не больше $26$ , хотя возраст к $2014$ будет больше $30$ .
Брат родился в $198∗$ . Тогда сумма цифр возрастает от $18$ до $27$ , а возраст к $2014$ убывает от $34$ до $25$ . Равенство будет в единственном $1988$ .
Брат родился в $199∗$ год. Аналогично сумма цифр растёт от $19$ до $28$ , а возраст к $2014$ убывает от $24$ до $15$ , в силу разной чётности общих точек не будет.

У нас получилось только два подходящих под описание года, значит, в них братья и родились.

Ответ:

$1988,2006$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#47041Максимум баллов за задание: 7

Для детского сада закупили наборы конфет трех разных типов, потратив $2200$ рублей. Первый набор стоит $50$ рублей и содержит $25$ конфет. Второй набор стоит $180$ рублей и содержит $95$ конфет, третий набор стоит $150$ рублей и содержит $80$ конфет. Сколько каких наборов купили, если общее количество конфет в них максимально?

Источники: ПВГ 2011

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задача на максимизацию суммы, поэтому первое, что хочется сделать - как-то ее записать) Составим систему уравнению по количеству конфет и по тому, что нам нужно максимизировать

Подсказка 2

Немного преобразований и приходим к тому, что 5a + 18b + 15c = 220, 5a + 19b + 16c мы хотим максимизировать) Посмотрев внимательно на эти два выражения, можем заметить, что максимизировать достаточно лишь...что? Так же в условии следует попробовать найти какие-то варианты "замены" подарков, чтобы вручную как-то увеличивать количество конфет при той же цене.

Подсказка 3

Из подсказки 2 замечаем, что достаточно максимизировать b+c, а так же, что 3 подарка первого типа выгодно менять на подарок третьего типа. Значит, у нас нет трех подарков вида a. Остается лишь рассмотреть три оставшихся случая на a!

Показать ответ и решение

Пусть взяли $a,b,c$ наборов конфет каждого вида соответственно. Запишем уравнение на общую сумму денег и условие про максимальное количество конфет:

{ 50a +180b+150c= 2200 { 5a+ 18b+15c= 220 ⇐⇒ 25a +95b+ 80c→ max 5a+ 19b+16c→ max

Второе эквивалентно $b+c → max.$ Заметим, что три подарка первого вида можно за ту же стоимость заметить на один подарок третьего вида, где конфет будет больше, потому $a< 3.$ Рассмотрим случаи

$a =2.$ Получаем уравнение $18b+15c= 210 ⇐⇒ 6b+ 5c =70,$ откуда $b$ кратно пяти, то есть $b∈{0,5,10}.$ Имеем решения $(0,14),(5,8),(10,2).$ Максимум достигается на первом, потому получаем набор $(2,0,14).$
$a =1.$ Имеем уравнение $18b+15c= 215,$ у которого нет решений в целых числах, потому что $220$ не делится на $3$ , а левая часть делится на $3$ .
$a =0.$ Аналогично нет решений для $18b+ 15c=220.$

Ответ:

$(2,0,14)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#37481Максимум баллов за задание: 7

После вырубки нескольких деревьев в парке оказалось, что число оставшихся деревьев равно числу процентов, на которое число деревьев в парке уменьшилось за время вырубки. Какое наименьшее число деревьев могло остаться в парке?

Источники: ПВГ-2010, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) У нас есть несколько величин, которые друг с другом связаны, что-то такое было, может быть, нужно использовать уравнение? Обозначим процент вырубленных деревьев за х, а изначально пусть их было n. Тогда сколько осталось вырубленных деревьев?

Подсказка 2!

2) Так-так-так, уравнение нашли, осталось только решить - половина задачи сделана. Домножим уравнение на 100, чтобы было легче, а теперь посмотрим, 100х должно делиться на 100-х. Как бы использовать это, чтобы получить оценку на х...

Подсказка 3!

3) Верно! Нужно написать выражение, чтобы х сократился. Например, 100(100-х) делится на 100х. Тогда мы знаем, что еще делится на х. Попробуем вычислить отсюда минимальный х, а там и до n недалеко..

Показать ответ и решение

Пусть вырублено $x%$ деревьев, а изначально их было $n$ . Тогда осталось $n ⋅(1− -x-)= x 100$ деревьев, то есть $n⋅(100− x)= 100x$ . Левая часть делится на $100− x$ , значит, правая часть $100x$ делится на $100− x$ , следовательно, сумма правой части и $100$ левых частей, то есть $100⋅(100− x)+100x= 10000$ тоже делится на $100− x$ . Итак, $4 4 10000= 2 ⋅5$ кратно $100− x$ . Легко видеть, что минимальное $x >0$ равно $20$ , поскольку числа из множества ${81,...99}$ не представимы в виде $k m 2 5$ . Подставим его в уравнение $n ⋅80= 100⋅20 =⇒ n =25$ .

Ответ:

$20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#83955Максимум баллов за задание: 7

Бабушка читает незнакомую ей книгу из 970 страниц. Незнакомый текст она читает со скоростью 10 страниц в час, а прочитанный ранее — со скоростью 20 страниц в час. Пока книга не прочитана, бабушка читает её ежедневно по 5 часов с того места, где лежит закладка, и оставляет закладку там, где закончила чтение. В какой день недели бабушка прочтёт книгу до конца, если первые страницы она прочла в понедельник, а каждую ночь её внук переносит закладку на 20 страниц назад?

Источники: ПВГ - 2010, Омск, 10-11 классы, №1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сколько времени каждый день бабушка тратит на чтение незнакомых страниц? (Понятно, что если мы хотим получить число всех страниц в книге, важны только незнакомые страницы)

Подсказка 2

Каждый день, кроме первого, час тратится на чтение знакомого текста, а 4 часа — на чтение незнакомого.

Подсказка 3

Осталось ввести переменную — количество дней — и с помощью неё записать уравнение, определяющее общее число страниц в книге (не забывая про первый день).

Показать ответ и решение

В первый бабушка прочитала $5⋅10= 50$ страниц. Каждый следующий день бабушка тратила $20 :20 =1$ час на чтение знакомого текста. Значит, у нее остается $4$ часа на новый текст.

Пусть $n$ — число дней, которые бабушка читала книгу. Тогда за все дни, кроме первого, она читает $4⋅10 ⋅(n− 1)= 40(n− 1)$ страниц. Получаем уравнение

50+ 40(n− 1)=970

Таким образом, $n= 24.$ Так как бабушка начала читать в понедельник, то закончила она в среду, так как $n≡ 3 (mod 7).$

Ответ: в среду

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#89254Максимум баллов за задание: 7

Ваня налил себе полный стакан смеси кофе с молоком. Сначала, выпив половину смеси, он долил в стакан доверху кофе и перемешал. Затем, выпив половину новой смеси, долил в стакан доверху молоко и вновь перемешал. Доля кофе в полученной смеси оказалась равной доле кофе в исходной. Найдите эту долю.

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз почти ничего не дано, то почему бы не обозначить как-то объём стакана, чтобы было с чем работать? И заодно, какую часть смеси занимал кофе изначально.

Подсказка 2

Почему бы буквально не посмотреть, сколько кофе будет оставаться после каждого действия?

Подсказка 3

Если вы пили половину стакана, то сколько осталось именно кофе? А если долили еще полстакана кофе?

Подсказка 4

А сколько осталось именно кофе во второй раз? Осталось воспользоваться тем, что изначальная доля кофе равна конечной доле, и получить ответ!

Показать ответ и решение

Примем за 1 объем всей чашки. Пусть x - доля кофе в чашке вначале. Ваня выпил половину смеси, потом долил только кофе и перемешал, теперь количество кофе в чашке равно $x∕2+ 1∕2 =(x+ 1)∕2$ . Затем он снова отпил половину смеси и доливал только молоко, количество кофе в этом случае равно $(x+1)∕2∕2 =(x+ 1)∕4$ . По условию, последнее выражение равно $x$ :

(x +1)∕4 =x x+ 1= 4x x= 1∕3

Ответ: 1 / 3