Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Теория чисел на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#67139Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $x,y,$ удовлетворяющие уравнению

5xy+ y− 5x =1038

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Замечаем, что 5х повторяется - вынесем его за скобку и посмотрим на то, что останется в скобках. Кажется, нам чего-то не хватает, чтобы сделать еще один множитель. Чего?

Подсказка 2

Ну конечно, нам не хватает слева вычесть единичку, тогда вынесется еще и у-1. Мы получили произведение двух натуральных чисел (так как правая часть натуральная), отсюда следует посмотреть на в целом возможные делители правой части. Только им и могут равняться скобки левой части.

Подсказка 3

1037 = 17 * 61 = 1 * 1037. Отсюда получим возможные варианты и просто выберем те, в которых х и у получаются натуральными.

Показать ответ и решение

Сразу левая часть на скобки не раскладывается, поэтому вычтем из обеих частей по единице, получим

5xy+ y− 5x − 1 =1037 ⇐⇒ (5x+ 1)(y− 1)= 1037= 17⋅61 =1 ⋅1037

Поскольку мы решаем уравнение в натуральных числах, то обе скобки неотрицательны и принимают натуральные значения. При этом $5x+ 1> 1,$ поэтому возможны только случаи

⌊ 5x+ 1= 17 и y− 1 =61 |⌈ 5x+ 1= 61 и y− 1 =17 5x+ 1= 1037 и y− 1= 1

В первом и третьем случае решений нет, поскольку $x$ получается нецелым. Получаем только решение $(12,18)$ из второго случая.

Ответ:

$(12,18)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#92068Максимум баллов за задание: 7

Для некоторого натурального $k$ десятичная запись числа $k2+6k$ заканчивается цифрой $6.$ Найдите все значения, которые может принимать предпоследняя цифра этой записи.

Показать ответ и решение

Представим $k$ в виде $k =10a+ b$ , где $a,b$ — целые числа и $1 ≤b≤ 9$ . Тогда

2 ( 2 ) 2 k +6k =10 10a + 2ab+6a + b +6b.

Выражение $b2 +6b$ оканчивается на 6 только, если $b= 2.$ Но в этом случае $k2+ 6k=$ $100(a2+ a)+16$ , а значит, предпоследняя цифра равна $1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#92076Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму всех двузначных чисел, у каждого из которых сумма квадратов цифр на 57 больше произведения тех же цифр.

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть первой цифрой была a, второй — b. Как тогда можно записать условие задачи?

Подсказка 2

Получится, что a² + b² = 57 + ab. Важно ли нам, какое из чисел больше, a или b?

Подсказка 3

Нет, без ограничения общности можно считать, что a ≥ b.

Подсказка 3

Оцените b² и ab.

Показать ответ и решение

Пусть двухзначное число состоит из цифр $a$ и $b$ . Тогда если оно подходит под условие, то

2 2 a + b = 57 +ab

Без ограничения общности можно считать $a≥ b$ . Тогда так как $b2 ≤ab$ , то $a2 ≥ 57,$ и значит, $a≥ 8$ .

Если $a= 8$ , то $b2 − 8b+ 7= (b− 1)(b− 7)=0$ и $b= 7$ . Значит, нам подходят числа 18, 81, 78, 87.

Если $a= 9$ , то $b2 − 9b+ 24=0$ и у этого уравнения нет целых корней.

Искомая сумма равна $18+ 81+ 78 +87= 264.$

Ответ: 264

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#92078Максимум баллов за задание: 7

Натуральные числа $a$ , $b$ , $c$ удовлетворяют условию

abc+ ab+bc+ ac+a+ b+ c= 164.

Чему может быть равно произведение $abc$ ?

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Левая часть что-то очень сильно напоминает. Какое-то симметричное произведение... Какое же?

Подсказка 2

Точно! (a+1)(b+1)(c+1) = abc + ab + bc + ac + a + b + c + 1. Что же тогда мы можем сделать с нашим уравнением?

Подсказка 3

Именно! Добавить +1 к обоим частям, получим (a+1)(b+1)(c+1) = 165 = 5*3*11. Какой вывод можно сделать?

Подсказка 4

Воспользуемся натуральностью чисел и получим единственный ответ. Также не забудьте учесть всевозможные перестановки. Успехов!

Показать ответ и решение

(a+ 1)(b+1)(c+1)= 165 =5 ⋅33= 5⋅3⋅11

Числа $a+ 1, b+ 1, c+1$ натуральные и больше 1. Число 165 раскладывается ровно на 3 простых множителя, поэтому $a+ 1, b+ 1, c+ 1$ являются числами 3, 5 и 11 в каком-то порядке, $a, b, c$ являются числами 2, 4 и 10 в каком-то порядке и $abc= 80$ .

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#92333Максимум баллов за задание: 7

В периодической десятичной дроби $0,242424...$ первую цифру после запятой заменили на $4$ . Во сколько раз полученное число больше исходного?

Источники: ПВГ 2014

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть исходное число это x, конечное — y. Чему же равно выражение y-x?...

Подсказка 2

Очевидно, что y = x + 0.2. Хотим найти отношения y/x, то есть (x+0.2)/х. Для того, чтоб найти эту дробь, необходимо знать x. Как же его найти?

Подсказка 3

Поскольку период длины 2, кажется что число x и х*10² не особо то отличаются...

Подсказка 4

Точно! Докажите, что 99x = 24, отсюда найдите x, и дальше дело за малым.

Показать ответ и решение

Пусть $0,242424...= x.$ Тогда изменённое число равно $0,442424...=x +0,2.$ Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти $x.$ Приведём два способа.

Способ 1. Запишем дробь через период, а затем умножим на 100:

0,(24)= x

24,(24)=100x

Вычтем из второго равенства первое:

24= 99x

x= -8 33

Способ 2. $x =0,242424...$ равен сумме

( ) 24-+ 242 +-243 + ...= 24-⋅ 1+-1-+ -12-+... 100 100 100 100 100 100

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем

x= 24-⋅---1--= -8 100 1− -1- 33 100

Чтобы узнать во сколько новое число больше исходного, разделим одно на второе:

-8 + 1 33--5-= 5⋅8+-33= 73 8- 5⋅8 40 33

Ответ:

$73 40$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#49150Максимум баллов за задание: 7

Учитель написал на доске многочлены с целыми коэффициентами:

n n−1 P(x)= anx +an−1x + ...+ a1x +a0

m m −1 Q(x)=bmx + bm −1x +...+b1x+ b0

и дал задание найти целое значение $x$ , такое, что $P(x)$ делится (нацело) на $Q(x).$

Петя Васечкин взялся за дело и, взяв для начала $x= 0$ , получил $P(0)= 4,Q(0)= 3$ . «Не делится», подумал Петя, и решил подставить $x =1$ . Получилось $P(1)= −137,Q (1)= 0$ . «А ноль делить нельзя», — подумал Петя. Он попробовал взять $x= 2$ , но там получались большие числа и Петя запутался в вычислениях.

Напоследок он решил попробовать взять $x = −1$ и получил $P(−1)= 137,Q(−1)= −6$ . «Да таких значений $x$ просто не существует!» — воскликнул Петя. Прав ли он?

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, какие числа подставил мальчик в многочлен: -1, 0 и 1 (двойка нам не дает никаких значений). Если посмотреть отдельно на все значения Р(х) и Q(x), то что вы можете сказать о их делимости на 3?

Подсказка 2

Именно, значения Р не делятся на 3, а значения Q делятся на 3. Доказав, пользуясь теоремой Безу, что ни одно значение Р не кратно 3, мы решим задачу (почему?)

Показать ответ и решение

Заметим, что Петя подставил в многочлены все остатки по модулю $3$ . При этом многочлен $P$ никогда не бывает кратен $3$ , какой бы остаток мы не подставили. В это же время многочлен $Q$ при любом остатке равен числу, кратному трём. Отсюда следует, что не найдётся такое целое значение $x$ , что $P(x)Q≡(x)0$ , поскольку это значило бы делимость $P(x)≡3 0$ , которая не выполняется. Значит, Петя прав.

Ответ:

да

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#58563Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $x,y ∈ [1;8]$ , удовлетворяющих равенству

√-------- xx,xxx...= y,yyy...

(десятичная запись каждого из чисел $xx,xxx...$ и $y,yyy...$ состоит из бесконечного количества одинаковых цифр).

Источники: ПВГ-2013, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте преобразуем наше равенство к какому-то более красивому виду. Нам поможет, что xx,xxx...= 100⋅x⋅0,11..., а y,yy...= 10⋅y⋅0,11...!

Подсказка 2

Подставим и заметим, что это делает наше выражение только лучше. Тогда если обозначить 0,111 за р, то р можно найти так - это сумма 0,1 + 0,01, + 0,001, ...... ТОгда это сумма геометрической прогрессии!

Показать ответ и решение

Нетрудно видеть, что $xx,xxx...= 100⋅x⋅0,11...,$ а $y,yy...= 10⋅y⋅0,11...,$ откуда сразу же

√- ∘ ------ x =y⋅ 0,11...

Посчитаем $0,11...$ через десятичную запись: $1-+ 1-+ ... { по ф ормуле суммы геометрической прогрессии } =-110 = 1. 10 100 1−110 9$

Получаем $√ - 3 x= y$ . Так как правая часть является натуральным числом, то $x$ должен быть квадратом какого-то натурального числа. На заданном промежутке из квадратов есть только $1$ и $4$ .

При $x= 1$ получаем $√- y = 3 1 =3.$

При $x= 4$ получаем $√- y = 3 4 =6.$

Ответ:

$(1,3),(4,6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#67140Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $x,y,$ удовлетворяющие уравнению

2 2 6x y+ 2x +3xy+ x− 9y =2016

Источники: ПВГ-2013, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слагаемых с 3у больше, тогда попробуем вынести его за скобку. Будет чего-то не хватать, как будто нужно еще одно слагаемое, чтобы разложить левую часть на множители.

Подсказка 2

Естественно, нам нужно вычесть тройку из левой и правой частей. Тогда слева получится произведение двух множителей, а справа - число, разложение которого на множители нам и стоит рассмотреть. (Кстати, 2 + 0 + 1 + 3 = 6 делится на 3) :)

Подсказка 3

Проще будет работать со скобкой 3у+1, так как мы четко понимаем, что она не меньше 4, а также имеет остаток 1 при делении на 3. Тогда отсекается очень много вариантов для 3у+1, так как возможные случаи либо просто делятся на 3, либо делятся с остатком 2. Почти все, кроме одного.

Показать ответ и решение

Сразу левая часть на скобки не раскладывается, поэтому вычтем из обеих частей по тройке и сгруппируем

2 2 2 2x + x− 3 +3y(2x + x− 3)=2013 ⇐⇒ (2x + x− 3)(3y+ 1)= 2013= 3⋅11⋅61

Поскольку $x,y$ натуральны, то $3y+ 1≥ 4.$ При этом для $x ≥1$ скобка $2x2+ x− 3$ принимает неотрицательные значения, поэтому достаточно рассмотреть случаи

⌊ 3y+ 1= 11 и 2x2 +x− 3= 3⋅61 || 3y+ 1= 61 и 2x2 +x− 3= 3⋅11 || 3y+ 1= 3⋅11 и 2x2 +x− 3= 61 ||| 3y+ 1= 3⋅61 и 2x2 +x− 3= 11 || 3y+ 1= 11⋅61 и 2x2+ x− 3= 3 ⌈ 3y+ 1= 3⋅11⋅61 и 2x2+ x− 3= 1

В каждом случае посмотрим сначала на первое уравнение. Натуральное решение есть только в случае $2,$ поскольку только там остаток правой части при делении на $3$ равен единице. Оттуда $y = 20,2x2+x − 36= 0 =⇒ y = 20,x= 4.$

Ответ:

$(4,20)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#34656Максимум баллов за задание: 7

Найдите число $ab,$ если известно, что число

2◟011..◝◜.2011◞a2011b2◟011..◝.◜2011◞ 101раз 101 paз

делится на $99.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нас спрашивают о делимости, значит, стоит подумать, а какие признаки или свойства делимости могут нам помочь.

Подсказка 2

99=9*11, значит, нужны свойства делимости на 9 и 11. Что нужно, чтобы их применить?

Подсказка 3

Нам нужны сумма цифр и знакочередующаяся сумма цифр. Можно разобраться с ними по очереди. Считать все это будет весьма неприятно, поэтому, может быть, можно сделать что-то, что максимально сократит вычисления?

Подсказка 4

Подумайте, может, какое-то действие будет повторяться сразу много раз, причем одинаково? Возможно, их можно как-то объединить между собой?

Подсказка 5

Если идти по порядку, нас много раз будет записано "2+0+1+1", значит, достаточно знать, сколько раз это будет сделано! Теперь все, что нам нужно — это подобрать такие a и b, при подстановке которых исходное число будет делиться на 9 и 11. Раз мы говорим о делимости, то, может, можно записать суммы как-то иначе?

Подсказка 6

Вспомним об арифметике остатков! Значит, можем найти, какой остаток будет давать сумма а и b при делении на 9.

Подсказка 7

Не забывайте, что а и b — это цифры, значит, какие значения может принимать их сумма?

Подсказка 8

Теперь сделаем все то же самое для 11, только на это раз с чередованием знаков — снова заметим некоторую закономерность и воспользуемся арифметикой остатков, но теперь сможем определить значение разности а и b.

Подсказка 9

Осталось перебрать варианты сочетания суммы и разности, не забыв, что вы ищете именно цифры.

Показать ответ и решение

Данное число должно делиться на $9,$ то есть иметь сумму цифр, кратную $9,$ и делиться на $11,$ то есть иметь знакочередующуюся сумму цифр, кратную $11.$

Сумма цифр числа равна

203⋅(2+ 0+1 +1)+ a+b ≡5⋅4+ a+ b≡ 2+ a+b (mod 9)

Значит, $a+ b≡7 (mod 9),$ то есть $a +b= 7$ или $a+ b=16,$ так как $a$ и $b$ — цифры.

Знакочередующаяся сумма равна

(2− 0+ 1− 1)+ (2 − 0+ 1− 1)+...+

+ (2 − 0+ 1− 1)+(a− 2+0 − 1+ 1− b)+ (2− 0 +1− 1)+...+(2− 0+ 1− 1)=

= 2⋅101+ (a− b− 2)+2⋅101≡ 2⋅2+(a− b− 2)+ 2⋅2≡ 6+ a− b (mod 11)

то есть $a− b≡ 5 (mod 11).$ Так как $a$ и $b$ — цифры, то $a− b=5$ или $a− b= −6.$ Из первого ограничения на $a$ и $b$ ( $a+ b= 7$ или $a+ b= 16$ ) мы знаем, что $a$ и $b$ или разной четности, или одной четности соответственно, а значит, $a− b= 5$ и $a+b =7$ или $a− b= −6$ и $a+ b= 16.$

Тогда

({ a+ b= 7 (a− b= 5

( {a+ b= 7 (2a= 12

( {a =6 (b =1

или

({a +b= 16 ( a − b= −6

( { a+b =16 ( 2a =10

( {a= 5 (b= 11

Но $b$ — цифра, значит, вторая система не имеет решений. Получили единственное решение: $a = 6,b= 1.$

Ответ:

$61$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#67141Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в целых числах:

∘ --2-------- 9x +80x− 40= 3x − 20y

Источники: ПВГ-2010, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Хммм... В условии есть корень, от которого сразу же хочется избавиться. Что можно сделать?

Подсказка 2:

Конечно! Запишем себе где-то на полях условие, что 3x−20y неотрицательно и смело возведём в квадрат. Давайте теперь в левой и правой части разложим выражения так, чтобы получить произведение множителя на скобку. Что можно сказать, помня, что x и y — целые?

Подсказка 3:

Да! Заметим, что (2 + 3y) не может быть равным нулю, поэтому на него можно поделить! Окей, с одной стороны получили всё ещё целый x, а с другой — отношение двух двучленов. Что всё это значит?

Подсказка 4:

Да! Получаем, что часть с игриками должна быть целым числом! Умножим обе части на 9. Получим 9x-30y+20=49/(3y+2). Тогда 3y+2 — делитель числа 49. Осталось только перебрать все возможные случаи и записать ответ!

Подсказка 5:

(Не забудем, что 3x−20y неотрицательно!) Чтобы сократить перебор, можно посмотреть на то, какие остатки дают левая и правая части, например, при делении на 3 ?)

Показать ответ и решение

Сначала бездумно возведём обе части в квадрат, в конце уже проверим, чтобы $3x− 20y$ было неотрицательно.

2 2 2 9x +80x− 40=9x − 120xy +400y

2 40x(2+ 3y) =40(10y + 1)

Так как $x,y$ целые, то можно поделить на ненулевое $2+ 3y$ обе части уравнения и получить, что целым числом должно являться

x= 10y2-+1- 3y+2

Поделим многочлен на многочлен в столбик: для начала избавимся от $2 10y,$ для этого надо домножить $3y+ 2$ на $10 3 y.$ Получим

10 20 10y2+ 1= (3y+ 2)⋅3-y− 3-y+ 1

Теперь разделим $− 230y$ на $3y+ 2:$

− 20-y = − 20⋅(3y +2)+ 40 3 9 9

Тогда

10y2+ 1= 10y⋅(3y +2)− 20⋅(3y +2)+ 40+ 1= 3 9 9

10 20 49 = 3 y⋅(3y +2)− 9 ⋅(3y +2)+ 9

Получим

10y2+ 1 10 20 49- -3y+-2-= -3 y− 9-+ 3y9+-2

Тогда получается, что должно быть целым и число

10 20 -49∕9- x= 3 y− 9 + 3y+ 2

После переноса слагаемых и умножения на $9$ обоих частей получим

49 9x− 30y+ 20= 3y+-2 .

Делителями (целыми) числа $49$ являются $− 49,− 7,− 1,1,7,49.$ Заметим, что только $− 1,−7,−49$ дают остаток $2$ по модулю $3,$ поэтому скобка $3y+ 2$ может принимать только эти значения. Разберём случаи

$3y+ 2= −1 ⇐⇒ y = −1 =⇒ 20+ 9x − 30y = −49 ⇐⇒ x= −11$
$3y+ 2= −7 ⇐⇒ y = −3 =⇒ 20+ 9x − 30y = −7 ⇐⇒ x= −13$
$3y+ 2= −49 ⇐⇒ y = −17 =⇒ 20 +9x− 30y =− 1 ⇐⇒ x= −59$

Остаётся проверить, что $3x− 20y$ принимает неотрицательные значения для полученных решений. Из трёх кандидатов не подходит только первая пара, потому что $3⋅(− 11)− 20⋅(−1)= −13< 0.$

Ответ:

$(−13,− 3),(−59,−17)$