Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите произведение всех значений 
, при каждом из которых
Подсказка 1
Так-так, на первый взгляд это что-то очень страшное. Но давайте сделаем логичные первоначальные действия, которые сильно упростят задачу: заменим квадратный трёхчлен с x на
Подсказка 2
Что же делать теперь? Ну да, конечно, рассмотрим функцию f(t) = t^a, где а - какой-то параметр, а t > 0. Если a ≠ 0 и a ≠ 1, то функция строго выпукла. В этот момент подумайте про неравенство Йенсена!
Подсказка 3
Да-Да, почти очевидно, что равенство может достигаться только тогда, когда a = 0 или a = 1. Запишем тогда два квадратных уравнения и по теореме Виета найдём произведение их корней.
Запишем критерий арифметической прогрессии для трёх чисел, что её второй член является средним арифметическим первого и третьего:
Заметим, что
Тогда после замены 
получаем
где
Рассмотрим функцию 
при 
Если 
и 
то её вторая производная
ненулевая и имеет постоянный знак, поэтому функция строго выпукла, так что по неравенству Йенсена равенство
возможно только при 
но в нашем случае 
Поэтому 
или 
то есть
Оба уравнения имеют по два различных действительных корня, произведения которых равны 11 и 9 соответственно по теореме Виета. Причём все 4 корня различны (уравнения различны), поэтому произведение всех корней равно 99.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
