Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове

Тема Ломоносов

Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125112

Решите уравнение

∘ --2------- ∘-2------- ∘ -------2 ∘---√- ∘ --√-- 4x − 12x+ 9+ x − 6x+ 9+( −(x− 2)) = 3+ 8− 3− 8

Источники: Ломоносов - 2025, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала выпишем ограничения, а потом заметим, что под каждым корнем выделяются полные квадраты. Соответствующим образом преобразуем выражение.

Подсказка 2

Не забываем о том, что нужно навесить модули на подкоренные выражения после вынесения их из корня. Дальше выражение тривиально решается рассмотрением промежутков для подмодульных выражений.

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты при условии $x≤ 2:$

∘---2----------2- ∘ -2---------2- ∘-----√---- ∘ ---√----- (2x)− 2⋅2x⋅3+ 3 + x − 2⋅3⋅x+3 − x+ 2= 1 +2⋅ 2+2 − 1− 2 2+ 2

∘ ------- ∘ ------ ∘----√--- ∘ ---√---- (2x − 3)2+ (x− 3)2− x+ 2= (1+ 2)2 − (1 − 2)2

√- √ - |2x − 3|+|x− 3|− x+ 2= 1+ 2− ( 2− 1)

|2x− 3|+ |x− 3|= x.

То есть, с учётом ОДЗ, получаем, что $x∈[1.5;2].$

Ответ:

$[1.5;2]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125179

Даны три функции

f(x)= (x +a )(x2+b x+ 6) , 1 1 ( 2 1 ) f2(x)= (x +a2)(x +b2x+ 8), f3(x)= (x +a3) x2+b3x+ 12

(здесь $a1,b1,a2,b2,a3,b3$ — положительные числа).

Для каждого действительного $x$ выполняется условие $f1(x)=f2(x) =f3(x).$ Найдите значение суммы $a1+ b1+a2+ b2+ a3 +b3.$

Источники: Ломоносов - 2025, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из того, что функции тождественные, можем получить определённые выводы. Посмотрим на первый множитель в каждой из функций. Какие корни в совокупности получаются из них?

Подсказка 2

Получаем, что у каждого из выражений корни -a₁, -a₂, -a₃. При этом, так как это максимально возможное число корней у многочленов третьей степени, то это единственные корни в каждом из выражений (причём они различны, подумайте, почему). Теперь хотим использовать теорему Виета со знанием этой информации в контексте вторых множителей.

Подсказка 3

Отсюда уже довольно просто находятся сначала а₁, а₂, а₃, а потом и b₁, b₂, b₃. Если столкнулись с проблемами на этапе применения теоремы Виета, то просто перемножьте все результаты, которые вы оттуда получили, и найдите сначала х₁ * х₂ * х₃.

Показать ответ и решение

Так как значения в каждой точке у функций совпадают, то $f =f = f . 1 2 3$ Тогда уравнение $f(x)= 0 1$ имеет отрицательные корни $x1 = −a1, x2 = −a2, x3 = −a3,$ и это три разных корня, так как если бы линейные множители в двух тождественно равных функциях были бы одинаковыми, то совпадали бы и квадратичные множители, а по условию задачи это не так.

Поэтому из теоремы Виета для каждого из квадратичных множителей следует:

x2 ⋅x3 =6, x1⋅x3 = 8, x1⋅x2 = 12

Перемножим три равенства, получим, что $(x x x)2 = (6⋅4)2, 1 2 3$ тогда из отрицательности корней следует, что $x xx = −24. 12 3$ Поэтому

−24 −24 −-24 x1 = 6 =−4, x2 = 8 = −3, x3 = 12 = −2.

Тогда $a1 =4, a2 = 3, a3 = 2,$ а по теореме Виета ищутся $b1 =3 +2= 5, b2 = 4+ 2= 6, b3 =4 +3= 7.$

Тогда ответ: $a1+ a2+ a3+b1+ b2 +b3 = 4+ 3+2 +5+ 6+ 7= 27.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#82780

Решите систему уравнений

{ (xy+ 3x− y − 3)|y− x− 9|=(x− 4)|xy+3x − y− 3|; √y-−-x+9-=y − 4.

Источники: Ломоносов - 2024, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо понять, какие есть возможности выполнения 1-го уравнения. Имеется одинаковая скобка справа и слева, на неё можно сократить (не забывая про модуль), когда она не равна нулю. Следовательно, можно отдельно рассмотреть случаи равенства и неравенства нулю этой скобки, также не забывая про ОДЗ.

Подсказка 2

Когда ни одна из скобок первого уравнения не равна нулю, учесть модули можно довольно просто — их наличие равносильно тому, что произведение всех скобок без модулей положительно (поскольку, если оставить все модули в одной стороне, а скобки без модулей перенести в другую, то дробь без модулей обязана быть положительной). Далее уже сложностей не остается — нужно лишь аккуратно поделить всё на случаи и довести их до конца, учитывая ОДЗ.

Показать ответ и решение

Из второго уравнения следует, что $y ≥ 4$ , так как корень неотрицателен.

Пусть первое уравнение выполняется из-за того, что $(xy+ 3x − y− 3)= 0$ . Условие равносильно $(x− 1)(y +3)= 0$ . Решение $y = −3$ не подходит, а при $x= 1$ получаем:

({ ∘y+-8= y− 4 ⇐⇒ y ≥ 4, ⇐⇒ y = 8 (y2− 9y+8 =0.

Пусть теперь $(xy +3x− y− 3)⁄=0$ , но $(x− 4)= 0$ , и $(y − x − 9)= 0$ . Тогда $x= 4,y = 13$ , но такой вариант не подходит под второе уравнение.

При остальных $x,y$ система равносильна системе:

( ( |||{ (x − 1)(y +3)(x − 4)> 0, |||{(x− 1)(y+ 3)(x− 4)>0, y− x− 9= ±(x − 4), ⇐⇒ y =13 или y = 2x+ 5, |||( √y−-x+-9= y− 4 |||(√y-−-x+-9= y− 4

При $y = 13$ решением будет $x= −59$ , при $y = 2x+ 5$ получим уравнение:

√----- ({ x≥ 0.5, x+ 14= 2x +1 ⇐ ⇒ ( 2 4x +3x− 13= 0

Откуда $−3+√217- x= 8$ , тогда $17+√217- y = 4$ . Последняя пара не удовлетворяет условию $(x − 1)(y +3)(x − 4)> 0$ .

Ответ:

$(1,8),(−59,13)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#82782

Функция $y =f(x)$ такова, что

(x-− 1) --1- f x +1 = −x+ 1

Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции

g(x)= f◟(f(...f◝(◜x)...))◞ 9

в точке $x= 0$ .

Источники: Ломоносов - 2024, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В аргументе функции стоит сложное дробно-линейное выражение от х, из-за этого трудно понять, как выглядит сама функция. Но с другой стороны, мы же понимаем, что можно сделать замену в этом аргументе так, чтобы нам стало удобнее работать с функцией. На руку играет то, что и в аргументе, и в правой части выражения в знаменателе стоит (х+1), то есть эти два выражения довольно сильно похожи.

Подсказка 2

Если получилось воспользоваться предыдущей подсказкой, то функция должна принять вид линейной. А многократное применение линейной функции — совсем не проблема:)

Подсказка 3

Понятно, что тангенс угла наклона касательной — это значение производной в соответствующей точке. А когда мы берем производную от функции, слагаемое-константа исчезает, поэтому в процессе многократного применения нашей функции за константой можно даже не следить.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение аргумента

(x-− 1) --1- f x +1 = −x+ 1

( ) f 1− -2-- = −--1-. x+ 1 x +1

Выполним замену $y = 1− 2x+1.$ Тогда $− 1x+1-= y−21$ , следовательно, для любого $y$ верно, что

f(y)= y − 1∕2. 2

Тем самым, мы показали, что функция $f(x)$ имеет вид $x+ C 2$ , где $C$ — некоторая постоянная, которая не зависит от $x$ , тогда

(x +C ) f(f(x))= -2-----+ C = x + 3C, 2 4 2

следовательно, $f(f(x))= x+ C 4$ для некоторой новой постоянной $C$ . Аналогично,

g(x)= f(f(...f(x)...))= -x9 +C = -x-+C. ◟ ◝◜9 ◞ 2 512

Осталось заметить, что тангенс угла наклона в точке 0 равен значению производной функции в точке 0, так что

x 1 1 g′(x) =(512 + C)′ = 512 =⇒ g′(0)= 512-

Ответ:

$-1- 512$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#58009

Вычислите

[∘ ---√----- ∘ ---√----] 45+ 2022− 45 − 2022 ,

где $[t]$ — это целая часть числа $t$ (т.е. наибольшее целое число, не превосходящее $t$ ).

Источники: Ломоносов-2023, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим наше выражение внутри скобок за t. Тут какие-то страшные корни, давайте избавимся от них с помощью возведения t в квадрат!

Подсказка 2

t² = 90 - 2√3. Стоит вспомнить, что 1 < √3 < 2, и, получив из этого оценку на t², легко найти целую часть от t!

Показать ответ и решение

Обозначим

∘----√---- ∘----√---- t= 45+ 2022− 45− 2022.

Чтобы не возиться с корнями, попробуем оценить квадрат этого выражения, тем более он довольно симпатичный:

2 √ ---- ∘ ---√-----∘ ---√----- √ ---- t = 45+ 2022− 2⋅ 45 + 2022⋅ 45 − 2022+ 45− 2022=

∘--2----- √ - = 90− 2 45 − 2022= 90− 2 3

Из очевидного $1< √3< 2$ получаем $90− 4< t2 < 90− 2$ . Откуда, конечно, $92 = 81< t2 < 100= 102,$ так что целая часть числа $t$ равна $9.$ Здесь, однако, важно сказать, что $t> 0$ , иначе наше решение не исключало бы, что целая часть могла быть равна $− 10$ . Но в силу $45+√2022> 45− √2022-$ следует очевидность (которую всё же надо упомянуть!) неравенства $t> 0.$

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#67932

Решите уравнение

2 3 ∘--4---2--- ∘ -4----2--- log2(|x − 2|+ 1)+ 4x − 3x +5= 2x +5x − 3

Источники: Ломоносов-2023, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит страшно: и корни, и логарифм по отдельности..может, тут есть какие-то оценочки?)

Подсказка 2

Например, можно обратить внимание, что раз |x-2|³ ≥ 0, то аргумент логарифма ≥ 1, и сам логарифм ≥ 0. А еще в подкоренном выражении слева у старшего члена коэффициент больше, чем в подкоренном выражении справа. Что это может значить?

Подсказка 3

То, что левая часть почти всегда больше правой) А еще сами корни положительные. Поэтому, чтобы решение существовало, нужно чтобы левый корень был не больше, чем правый корень (т.к. логарифм и так ≥ 0). При каких иксах это так?

Подсказка 4

Если написать неравенство на подкоренные выражения, то после нехитрых преобразований, получится, что (x²-2)² ≤ 0! Т.е. x = ±√2. Проверьте, подходят ли они как решение)

Показать ответ и решение

Так как

2 3 2 3 2 3 |x − 2| ≥ 0⇒ |x − 2| +1 ≥1⇒ log2(|x − 2| +1)≥ 0

∘ --4---2--- 4x − 3x + 5≥ 0

∘2x4-+5x2−-3≥ 0

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялось неравенство

4x4 − 3x2+ 5≤ 2x4+ 5x2− 3

(x2− 2)2 ≤0

x2 = 2

Проверка показывает, что $√- x= ± 2$ — решение.

Ответ:

$±√2-$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#70487

Какое из чисел больше:

--3-- --5-- --87--- --89--- A= (1⋅2)2 + (2⋅3)2 + ...+ (43⋅44)2 + (44⋅45)2

или

∘6---√-- 3∘ √---- B = --4−-2-3√⋅---3+-1? 32

Источники: Ломоносов-2022, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

«Какой олимпиадник не любит длинных телескопов…». Действительно, то, что написано выше, это ведь очень похоже на стандартный телескоп с разложением на дроби вида 1/n - 1/(n+1) = 1/n(n+1). Как тогда преобразовать наше равенство выше к дробям вида k/(n^2*(n+1)^2)?

Подсказка 2

Верно, это по сути две дроби, у которых разность между знаменателями равна 2n + 1. Значит, 1/n^2 - 1/(n+1)^2 = (2n+1)/(n^2*(n+1)^2). Заметим теперь, что это ровно дроби нашего вида. Чему тогда равна наша сумма-телескоп?

Подсказка 3

Верно, она равна 1/1^2 - 1/45^2 = 2024/2025. Значит, получили сумму в явном виде. Теперь посмотрим на дробь. Кажется, преобразовать можно только первое подкошенное выражение, так как все остальное выглядит слишком атомарно. При этом, у нас все, кроме первого корня имеет степень 1/3, а корено - степень 1/6. Значит, нам хотелось бы преобразовать подкоренное выражение в квадрат некоего числа, чтобы извлечь корень и занести все числа под кубический корень. Попробуйте преобразовать первый корень.

Подсказка 4

Верно, он преобразовывается в квадрат числа (sqrt(3) - 1). А значит, после нехитрых преобразований, получаем, что дробь равна 1. При этом, сумма наша равна 2024/2025. Ответ получен!

Показать ответ и решение

Так как

--2n+-1-- 1- ---1-- (n(n +1))2 = n2 − (n+ 1)2

Находим $A$

( ) ( ) ( ) ( ) A = 12 − 12 + -12 −-12 +...+ -12 −-12 + 12-−-12 = 12-− 12-= 1 2 2 3 43 44 44 45 1 45

= 452-− 1-= 2024 452 2025

Найдём $B$

6∘----√- ∘3√---- 6∘-√-----2 3∘√---- 3√---- B =--4−-2-33√⋅---3+-1 = -(-3−-1)3√-⋅---3+1-= -3√3− 1-=1 2 2 2

Получаем, что $A <B.$

Ответ: B

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#70489

Есть функция

---1--- f(x)= √51-− x5

Вычислите

f(f(f(f(f(...f(2022))))...)),

где функция $f$ применяется 1303 раза.

Источники: Ломоносов - 2022, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вот получили вы на Ломоносове такую вот первую задачу, думаете, что уже конец, но не стоит отчаиваться! Когда в некоторой задаче идет речь о некоторых итерациях(а взятие функции от функции, от функции и т.д. - это и есть итерация), то зачастую в такой вот последовательности есть либо инвариант, либо цикл. Циклом при этом может быть и вид функции, к примеру. Попробуйте сделать несколько итераций (то есть в явном виде написать, что такое f(f(x)), f(f(f(x))) и т.д.) и понять, чему это равно.

Подсказка 2

Верно, f(f(f(x))) = х, значит видим периодичность, с периодом 3. А значит, f_1033, где 1033 - кол-во итераций, равно f_1 = f(2022). А это мы можем найти.

Показать ответ и решение

Посмотрим, как будет меняться функция

---1--- f(x)= √51-− x5

∘----- f(f(x))= ∘--1-----= 51− -15 51 −1−1x5 x

∘--------- f(f(f(x)))= 51 − (1− x5)= x

f(f(f(f(x))))= f(x)

Видим периодичность, период $= 3.$ Остаток от деления 1303 на 3 равен 1, поэтому

f(f(f(f(f(...f(2022))))...))= f(2022)= 5√--1---5- 1− 2022

Ответ:

$-√--1---- 51− 20225$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#38125

Пусть $f(x)= x2 +10x+ 20$ . Решите уравнение

f(f(f(f(f(x)))))= 0.

Источники: Ломоносов-2021, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит конечно страшно... 4 раза подставлять аргумент и находить значение функции. Так мы делать точно не хотим и не будем. Давайте будем верить в лучшее, иначе эта задача гроб. Попробуем найти какую-то закономерность, не просто так же нам дали такую задачу. Какое есть "правило" при виде квадратного трёхчлена? Что хочется сделать, видя х²+ 2*5*х+20?

Подсказка 2

Конечно, можем выделить полный квадрат! Тогда выйдет, что квадратный трёхчлен равен (х+5)²-5. Хм... Интересно получилось. У нас в скобках +5, а снаружи -5. Попробуйте найти хотя бы f(f(x)). Что хорошего вы видите? Как это продолжается дальше при подстановках?

Подсказка 3

Верно, получается, что пятёрка сокращается внутри скобок при подстановке, и у нас выходит четвёртая степень, а остальное то же самое. Теперь поняв закономерность, попробуйте сделать это столько раз, сколько вам нужно и получить ответ.

Показать ответ и решение

Поскольку $f(x)= (x+ 5)2− 5$ , то

2 2 2 4 f(f(x))=(f(x)+ 5) − 5 =((x +5) − 5+5) − 5= (x+ 5) − 5

Отсюда $f(f(f(f(f(x)))))= (x+5)32− 5 =0$ . Тогда $x+ 5= ± 32√5 ⇐ ⇒ x =± 32√5− 5$ .

Ответ:

$± 32√5 − 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#47043

Число

1 0 −1 −2 −2021 x =2 + 2 + 2 +2 + ...+ 2

Найдите значение выражения

∘2x-+-4√2x-− 4-+∘2x-−-4√2x-− 4.

Источники: Ломоносов-2021, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что не нравится в этой задаче, — это то, чему равен x. С такой суммой нельзя нормально работать, надо её как-то посчитать. Попробуйте выделить в ней знакомую нам сумму геометрической прогрессии, которую можно посчитать по формуле.

Подсказка 2

Конкретно, вынесите 2⁻²⁰²¹. Теперь обратим внимание на само выражение. Такое количество корней — это неприятно, выделить полные квадраты в них не получается. Как тогда уменьшить число корней?

Подсказка 3

Ну конечно, надо возвести это выражение в квадрат. Тогда останется всего один корень, который тоже можно убрать! При записи ответа надо только не забыть, что искомое выражение неотрицательно

Показать ответ и решение

Число

−2021 ( 2022) − 2021 22023−-1 −2021 x= 2 ⋅1 +...+ 2 = 2 ⋅ 2− 1 = 4− 2

Обозначим

∘ ----√------ ∘-----√----- a = 2x+ 4 2x− 4,b= 2x− 4 2x− 4

Найдём

∘ ------------ (a+ b)2 = a2+ b2 +2ab= 4x+2 ⋅ 4x2− 16(2x− 4)=

∘ ---------- = 4x +4⋅ x2− 8x +16= 4x+ 4|x− 4|

= 4⋅(4− 2−2021)+4 ⋅2−2021 =16

Откуда сразу же $a+ b=4$ (очевидно, что при $a≥0,b≥ 0$ сумма не может быть равна $− 4).$

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#80264

Найдите

f(1)+ f(2)+ f(3)+ ...+ f(13),

если

3 2 f(n)= 4n − 6n + 4n+ 13.

Источники: Ломоносов - 2021, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое-то у нас слишком массивное выражение для f(n), может, попробуем его немного упростить? У нас есть последовательно идущие коэффициенты 4, 6, 4 - на что это нам намекает?

Подсказка 2

Конечно, эти же коэффициенты встречаются при разложении разности четвёртой степени. Теперь нужно только аккуратно выделить такую четвёртую степень в выражении для f(n) и вычесть лишнее. Смотрите, теперь при подстановке f(n) в изначальную сумму многое сокращается, и остаются только несложные вычисления

Показать ответ и решение

Попробуем сгруппировать $4n3− 6n2+4n +13.$ Заметим, что у нас есть последовательно идущие коэффициенты $4, 6, 4,$ тогда попробуем собрать многочлены $4$ степени. Получаем

3 2 4 4 f(n) =4n − 6n +4n +13= n − (n − 1) +14

Посчитаем искомое выражение:

4 4 4 4 4 4 f(1)+ f(2)+ f(3)+ ...+ f(13)= 1 +2 + ...+ 13 − (0 +1 + ...+ 12)+ 14⋅13 =

134+14⋅13= 28743

Ответ: 28743

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#103074

Известно, что $m,n,k$ — различные натуральные числа, большие $1,$ число $log n m$ рационально, и, кроме того,

√log-n- √log-k k m =m n

Найдите минимальное из возможных значений суммы $k+5m + n.$

Источники: Ломоносов - 2020, 11.8 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте преобразуем равенство из условия. Что можно сделать с обеими частями, чтобы перейти к равенству произведений?

Подсказка 2

Возьмите от обеих частей логарифм по основанию m! После некоторых преобразований перейдём к произведению логарифмов по одинаковому основанию, и это произведение равно единичке ;)

Подсказка 3

Так как логарифмы у нас по основанию m, имеет место выразить m и k через n в какой-то степени. Тогда можно будет записать равенство без логарифмов.

Подсказка 4

Отлично, теперь видно, что степени, в которые надо возвести n для равенства с k и m, выражаются красиво друг через друга! Теперь мы знаем, какому виду удовлетворяют подходящие тройки чисел.

Подсказка 5

Разберите случаи того, какой вид может принимать q, где n^q = m. В каком диапазоне оно может быть? Рациональное ли оно?

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное равенство, учитывая, что числа $m,n,k$ больше $1$ и соответствующие логарифмы положительны:

√logmn- √lognk ∘----- ∘ ----- k =m ⇔ logm k⋅ lo∘gmn-=- lognk ⇔ ⇔ log k⋅∘log--n= logmk-⇔ m m logmn ⇔ ∘logmk-⋅logm n= 1⇔ logmk⋅log2m n= 1

Выполнив замену $k =np,m =nq,$ где $p⁄= 0,q ⁄= 0,$ получим

p ⋅ 1-= 1⇔ p= q3. q q2

Таким образом, все тройки $(k,m,n),$ удовлетворяющие условию задачи, имеют вид $(nq3,nq,n) .$

Ясно, что $q > 0:$ в противном случае из натуральности числа $n$ следует, что число $nq$ лежит в интервале $(0;1)$ и не является натуральным. Случай $q = 1$ противоречит условию задачи. Если $q ∈ (0;1),$ то $q = 1∕r,$ где $r> 1,$ и тогда тройку натуральных чисел $(q3 q ) n ,n,n$ можно записать в виде $( r2 r3) l,l ,l$ с натуральным $l.$ Сумма $k+ 5m+ n$ для этой тройки будет больше такой же суммы для чисел, входящих в тройку $( 3 ) lr ,lr,l .$ Значит, $q > 1.$

При целых $q$ тройка чисел с минимальной суммой $k +5m + n$ получается при $n =2,q = 2:$ это числа $k= 28,m = 22,n= 2,$ и для них сумма $k +5m +n$ равна $278.$ Если $q$ рациональное, но не целое, то для того, чтобы число $3 nq$ было целым, необходимо, чтобы $n$ было как минимум восьмой степенью целого числа, не меньшего $2,$ и, конечно же, сумма $3 nq + 5nq+n$ будет больше, чем $278$ (т.к. $n ≥256).$

Ответ: 278

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#92340

Найдите целую часть числа $a+ 9, b$ где $a$ и $b$ — соответственно целая и дробная части числа $∘76-− 42√3.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С корнем нам будет неудобно работать, можно ли от него избавиться?

Подсказка 2

Попробуйте с помощью ФСУ получить квадрат под корнем.

Подсказка 3

Оцените получившееся выражение двумя целыми числами.

Показать ответ и решение

∘------√- ∘ ----√--2 √- √- 76− 42 3= (7− 3 3) = |7− 3 3|=7 − 3 3

Значит, $a= [7− 3√3]$ и $b= {7− 3√3}$ . Так как $5 <3√3 <6$ , то $a= 1$ и $b =7− 3√3− [7− 3√3]= 6− 3√3$ .

Найдём

9 9 3 9 +3√3 √3 a+ b = 1+ 6−-3√3 = 1+ 3−-√3 =1 +-9− 3 = 2.5+-2-

Так как $√- 0.5 < -3< 1 2$ , то $[ ] a+ 9 = 3 b$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90859

Какое из чисел больше:

┌│ --∘--∘----------- │∘ ∘ -√----- ◟-17-13--17◝◜--13-17...◞ 2018 знаковкорня

или $3∘13 17 17?$

Показать ответ и решение

┌│ -∘---∘----------- ∘---------------------- │∘ ∘--√---- 4 2 4∘--2---4√--2----- ◟-17-13-1◝7◜-13-17..◞.=◟-17-⋅13-17◝⋅◜13-17-⋅13...◞= 2018знаковкорня 1007знаков корня

∘---------------- ∘ ------------- ∘----------- ∘--- 41007(172 ⋅13)1+4+...+41006 = 41007 (172⋅13)410073−1< 41007(172⋅13)410307= (172⋅13)13 = 17313 17

Ответ:

$173∘ 13 17$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#92338

Какое из чисел больше: $┌││--∘--∘---∘-------- ∘13 19 13 19√13... ◟-------◝◜-------◞ 2017знаковкорня$ или $133∘19 13$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как-то очень много корней слева... Попробуйте возвести оба числа в квадрат.

Подсказка 2

Сократите одинаковые множители и возведите оба числа еще раз в квадрат.

Подсказка 3

А меняется ли после возведений в квадрат и сокращений правое число?

Показать ответ и решение

┌│--∘--∘------------ --- │∘ ∘ --√---- 3∘19 ◟13--19--1◝3◜-19-13...◞ ? 13 13 2017знаковкорня

Возведём обе части в квадрат:

∘ --∘----------- ∘--- ∘--√---- 2 3 192 13 19 13 19 13... ? 13 132

∘ -∘------------ ∘--- ∘ --√---- 3192 19 13 19 13... ? 13 132

И ещё раз в квадрат:

∘ -∘-------- ∘ --- 19 13 19√13-... ? 132 3 194 134

∘----------- ∘ --- 19 13∘ 19√13... ? 13⋅19⋅ 3 19 13

┌│--∘--∘------------ │∘ ∘ --√---- 3∘19- ◟13--19--1◝3◜-19-13...◞ ? 13 13 2015знаковкорня

В левой части мы избавились от двух корней, а в правой части после преобразований получили то, что и было до них. Значит, выполнив те же действия много раз, дойдём до:

-- ∘ --- √ 13 ? 133 19 13

Возведём обе части в 6-ую степень:

133 ? 136⋅ 192 132

1 <13⋅192

Значит, и в исходном сравнении правая часть больше.

Ответ:

$3∘ 19- 13 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#102397

Вычислите $√n +√n-+-524-$ , если известно, что это число рациональное и что $n$ — натуральное.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мда, так себе условие... Как бы нам из него что-то достать интересное. Возвести в квадрат, получить произведение двух корней — плохо. Надо как-то по отдельности их что-ли в квадрат возвести. Как бы это сделать? Может что-то обозначить...

Подсказка 2

Так и сделаем. Пусть √n + √(n+254) = a. Тогда √(n+254) = a - √n. Вот щас уже можно что-то сделать...

Подсказка 3:

Возведём в квадрат. Получим, что n + 254 = a² + n - 2a√n. Мы знаем, что a — рационально по условию, n — натурально. Какой вывод можно сделать из этого?

Подсказка 4:

Докажите, что √n — натурально. В каком виде тогда можно представить числа n и n+254?

Подсказка 5:

Верно! n = k², n + 254 = m², где n, m ∈ N. Осталось вспомнить формулу разности квадратов и понять, что 524 = 131 * 4 = 2*2*131 — разложили на простые. С помощью этого дорешайте задачу, опираясь на натуральность множителей)

Показать ответ и решение

Пусть искомое число равно $a$ . Имеем

√------ √ - 2 √- n+ 524= a− n, n+ 524= a − 2a n +n

По условию $a$ рационально, поэтому и $√n$ рационально. Значит, $n =k2,k∈ ℕ$ . Тогда число $√n-+-524-$ тоже рационально, поэтому $n +524= m2,m ∈ℕ$ . Значит,

2 2 m − k = 524, (m − k)(m+ k)= 4⋅131

Заметим, что числа $m− k$ и $m +k$ одинаковой чётности, а число 131 простое. Следовательно, $m − k= 2$ и $m+ k= 2⋅131$ . Оба равенства выполнены при $m = 132,k= 130$ . Итак, $a= m + k= 262$ .

Ответ: 262

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#106011

Про функцию $y =f(x)$ известно, что она определена и непрерывна на всей числовой прямой, нечётна и периодична с периодом $5,$ а также что $f(−1)= f(2)= −1.$ Какое наименьшее число корней может иметь уравнение $f(x)= 0$ на отрезке $[1755;2017]?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как функция периодична, то можем найти количество её нулей на периоде и сделать выводы о количестве нулей на всем отрезке из условия. Как мы можем это сделать?

Подсказка 2

Рассматриваем значения функции на [0, 5). Как здесь оценить количество нулей?

Подсказка 3

Для начала найдем значения функции в точках 0, 1, 2, 3, 4, пользуясь положениями из условия. Какие выводы из найденных значений можно сделать?

Подсказка 4

Так как теперь знаем значения функции в этих точках, то из непрерывности функции можем оценить снизу количество нулей на рассматриваемом полуинтервале. Достижима ли эта оценка?

Подсказка 5

Теперь, зная количество нулей на периоде, хотим посчитать, сколько раз этот период помещается в отрезок из условия и рассмотреть не попавшие в период значения на предмет наличия нулей там. Почитаем с учётом всего этого итоговое количество нулей!

Показать ответ и решение

Поскольку функцня $f$ нечётна и определена в нуле, получаем

f(0)= −f(0)⇒ f(0)= 0

В силу 5-периодичности тогда имеем $f(5)= f(0)= 0$ . Используем ещё раз нечётность: $f(1)= −f(−1)= 1$ , и опять в силу 5-периодичности $f(3)=f(−2)= 1$ и $f(4)= f(− 1) =− 1.$

Итак, в точках $1,2,3$ и 4 значения функции равны соответственно $1,− 1,1$ и $− 1.$ Значит, на каждом из трёх интервалов между этими точками есть не менее одного нуля функции $f$ .

Итого на периоде $[0;5)$ у функции не менее 4 нулей (ясно, что эта оценка достижнма: можно взять, например, кусочно-линейную функцию, у неё будет ровно 4 нуля). На промежутке $[1755;2015)$ период помещается 52 раза (на нём не менее $52 ⋅4 =208$ нулей), плюс нуль в точке $2015$ и хотя бы один на интервале $(2016;2017).$ Итого не менее 210 нулей (210 нулей уже возможно).

Ответ: 210

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#100194

Найдите произведение всех значений $x$ , при каждом из которых

∘ --√---x2−9x+11 x2−9x+11 ∘---√-- x2−9x+11 ( 4− 11) , 2 , ( 4+ 11) —арифметическая прогрессия.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так-так, на первый взгляд это что-то очень страшное. Но давайте сделаем логичные первоначальные действия, которые сильно упростят задачу: заменим квадратный трёхчлен с x на

Подсказка 2

Что же делать теперь? Ну да, конечно, рассмотрим функцию f(t) = t^a, где а - какой-то параметр, а t > 0. Если a ≠ 0 и a ≠ 1, то функция строго выпукла. В этот момент подумайте про неравенство Йенсена!

Подсказка 3

Да-Да, почти очевидно, что равенство может достигаться только тогда, когда a = 0 или a = 1. Запишем тогда два квадратных уравнения и по теореме Виета найдём произведение их корней.

Показать ответ и решение

Запишем критерий арифметической прогрессии для трёх чисел, что её второй член является средним арифметическим первого и третьего:

∘ --√---x2− 9x+11 ∘ ---√--x2−9x+11 2 (--4−--11)-------+2-(-4+--11)------ =2x −9x+11

Заметим, что

4− √11-+4 +√11-=2⋅22.

Тогда после замены $√ -- √ -- t1 = 4− 11,t2 = 4+ 11,$ получаем

a(x) a(x) ( )a(x) t1---+t2--= t1+-t2 2 2 ,

где

x2− 9x+ 11 a(x)= ----2-----.

Рассмотрим функцию $f(t)=ta$ при $t>0.$

Если $a⁄= 0$ и $a⁄= 1,$ то её вторая производная

f′′(t)= a(a − 1)ta−2

ненулевая и имеет постоянный знак, поэтому функция строго выпукла, так что по неравенству Йенсена равенство

( ) f(t1)+2f(t2)= f t1+2t2

возможно только при $t1 = t2,$ но в нашем случае $t1 = 4− √11⁄= 4+ √11= t2.$

Поэтому $a =0$ или $a= 1,$ то есть

[ x2− 9x +11= 0 x2− 9x +11= 2

Оба уравнения имеют по два различных действительных корня, произведения которых равны 11 и 9 соответственно по теореме Виета. Причём все 4 корня различны (уравнения различны), поэтому произведение всех корней равно 99.

Ответ: 99

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#47067

Функция $f$ с областью определения $D (f) =[1;+∞ )$ удовлетворяет равенству

(4y+-4−y) f 2 =y

для любого $y ≥0$ . Для каждого значения $a⁄= 0$ решите неравенство

( ) f --a-- ≤1. x+ 2a

Источники: Ломоносов-2013, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте рассмотрим обратную к f функцию. Она по y будет выдавать (4^y + 4^-y)/2. А что у этой функции с монотонностью?

Подсказка 2!

Верно, она монотонно возрастает, значит и наша f будет монотонно возрастать. Попробуйте применить это в неравенстве, которое нам надо рассмотреть

Подсказка 3!

То есть применим к обеим частям неравенства функцию g и получим новое неравенство, более удобное для работы.

Показать ответ и решение

Функция $f$ является обратной к функции $g(y)= 4y+4−y 2$ для $y ≥0$ . Поскольку здесь $g$ монотонно возрастает, то и $f$ , как обратная, будет монотонно возрастать. Отсюда следует

( a ) a 17 f x+-2a- ≤ 1 ⇐⇒ x+-2a ≤ g(1)= 8

Дополнительно учитываем ОДЗ, то есть $x+a2a-≥1$ . Имеем систему

{ { xa+2a-≤ 178- ⇐ ⇒ 17xx++226aa≥ 0 xa+2a-≥1 xx++a2a ≤ 0

Точками смены знака будут $26a − -17-,− a,− 2a$ , однако их порядок зависит от знака $a$ . При $a >0$ получаем решения $26a x∈ [− 17 ,−a]$ , а при $a < 0$ $26a x∈ [− a,− 17 ]$ .

Ответ:

$[− 26a-;− a] 17$ при $a> 0$

$\text{[math]}$

$[ 26a] −a;− 17$ при $a <0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#60540

Докажите, что если числа $x,y$ и $z$ — целые, то число

1( 4 4 4) 2 (x − y) +(y− z)+ (z− x)

является квадратом некоторого целого числа.

Источники: Ломоносов-2013, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что сумма выражений под четвёртыми степенями равна нулю. Тогда как вместо трёх неизвестных сделать две?

Подсказка 2

Можно обозначить числа в скобках как a, b, -(a+b). Теперь раскройте четвёртую степень суммы a+b и поразмышляйте, квадратом какого числа может быть выражение из условия

Подсказка 3

Оно симметрично от перестановки a и b, при этом имеет четвёртую степень. Значит, надо пробовать собирать квадрат какого-то симметричного многочлена от a и b второй степени. Используйте сумму квадратов и произведение чисел ab

Показать доказательство

Первое решение.

Обозначим $a =x − y,b= y− z,c= z− x.$ Видно, что $a +b+ c= 0.$ Тогда надо понять, почему число

1 4 4 4 2(a + b +(−a− b))=

1 = 2(a4+ b4+ a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+ b4) =a4+ 2a3b+ 3a2b2+ 2ab3+ b4

является полным квадратом. Утроенное произведение $a2b2$ разнесём в три скобки, а удвоенные произведения — по двум соседним скобкам:

(a4+ a3b+a2b2)+(a3b +a2b2 +ab3)+(a2b2+ ab3+b4)=

=a2(a2 +ab+ b2)+ ab(a2+ ab+b2)+b2(a2+ ab+ b2)=

= (a2 +ab+ b2)2

Получилось явно выделить полный квадрат.

Второе решение.

Просто раскроем скобки и получим

$1 4 3 22 3 4 4 3 22 3 4 2(x − 4x y+ 6xy − 4yx +y + y − 4y z+ 6yz − 4zy +z + +z4− 4z3x+ 6x2z2− 4x3z +x4)= =x4+ y4+ z4+3(x2y2+ z2y2+x2z2)− 2(x3y +y3x+ z3x +x3z+ y3z +z3y)$

Теперь надо понять, квадратом какого числа это может быть.

Заметим, что каждый одночлен является либо квадратом $2 2 2 x ,y,z ,xy,zy,xz$ , либо произведением каких-то двух чисел из этого набора. Отсюда вытекает вывод, что это должен быть квадрат $2 2 2 x +y + z − xy− zx− zy$ , в чём нетрудно убедиться сравнением коэффициентов в одночленах. Действительно, при возведении этого выражения в квадрат полезут только упомянутые ранее квадраты и попарные произведения, которые нам и требуются.

Замечание.

Если число всё ещё кажется взявшимся из ниоткуда, то на помощь приходит симметрия. Поскольку выражение из условия симметрично относительно любой перестановки переменных, то и сам квадрат должен быть таким же. Отсюда, например, угадав набор слагаемых $x2,y2,z2,xy,zy,xz$ , можно угадать знаки перед ними: знаки не могут быть разными для $x2$ и $y2$ или для $xy$ и $zy$ , ведь это испортило бы симметрию!