Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что 
— различные натуральные числа, большие 
число 
рационально, и, кроме того,
Найдите минимальное из возможных значений суммы 
Источники:
Подсказка 1
Давайте преобразуем равенство из условия. Что можно сделать с обеими частями, чтобы перейти к равенству произведений?
Подсказка 2
Возьмите от обеих частей логарифм по основанию m! После некоторых преобразований перейдём к произведению логарифмов по одинаковому основанию, и это произведение равно единичке ;)
Подсказка 3
Так как логарифмы у нас по основанию m, имеет место выразить m и k через n в какой-то степени. Тогда можно будет записать равенство без логарифмов.
Подсказка 4
Отлично, теперь видно, что степени, в которые надо возвести n для равенства с k и m, выражаются красиво друг через друга! Теперь мы знаем, какому виду удовлетворяют подходящие тройки чисел.
Подсказка 5
Разберите случаи того, какой вид может принимать q, где n^q = m. В каком диапазоне оно может быть? Рациональное ли оно?
Преобразуем исходное равенство, учитывая, что числа 
больше 
и соответствующие логарифмы положительны:
Выполнив замену 
где 
получим
Таким образом, все тройки 
удовлетворяющие условию задачи, имеют вид 
Ясно, что 
в противном случае из натуральности числа 
следует, что число 
лежит в интервале 
и не является
натуральным. Случай 
противоречит условию задачи. Если 
то 
где 
и тогда тройку натуральных чисел
можно записать в виде 
с натуральным 
Сумма 
для этой тройки будет больше такой же суммы для
чисел, входящих в тройку 
Значит, 
При целых 
тройка чисел с минимальной суммой 
получается при 
это числа 
и для них
сумма 
равна 
Если 
рациональное, но не целое, то для того, чтобы число 
было целым, необходимо, чтобы 
было
как минимум восьмой степенью целого числа, не меньшего 
и, конечно же, сумма 
будет больше, чем 
(т.к.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
