Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Про функцию 
известно, что она определена и непрерывна на всей числовой прямой, нечётна и периодична с
периодом 
а также что 
Какое наименьшее число корней может иметь уравнение 
на отрезке
![[1755;2017]?](/api/latex-service/v1/GetSession/219499/index-75a76a0014655d11dad1a67ff02044dd.svg)
Подсказка 1
Так как функция периодична, то можем найти количество её нулей на периоде и сделать выводы о количестве нулей на всем отрезке из условия. Как мы можем это сделать?
Подсказка 2
Рассматриваем значения функции на [0, 5). Как здесь оценить количество нулей?
Подсказка 3
Для начала найдем значения функции в точках 0, 1, 2, 3, 4, пользуясь положениями из условия. Какие выводы из найденных значений можно сделать?
Подсказка 4
Так как теперь знаем значения функции в этих точках, то из непрерывности функции можем оценить снизу количество нулей на рассматриваемом полуинтервале. Достижима ли эта оценка?
Подсказка 5
Теперь, зная количество нулей на периоде, хотим посчитать, сколько раз этот период помещается в отрезок из условия и рассмотреть не попавшие в период значения на предмет наличия нулей там. Почитаем с учётом всего этого итоговое количество нулей!
Поскольку функцня 
нечётна и определена в нуле, получаем
В силу 5-периодичности тогда имеем 
. Используем ещё раз нечётность: 
, и опять в силу
5-периодичности 
и 
Итак, в точках 
и 4 значения функции равны соответственно 
и 
Значит, на каждом из трёх интервалов между этими
точками есть не менее одного нуля функции 
.
Итого на периоде 
у функции не менее 4 нулей (ясно, что эта оценка достижнма: можно взять, например, кусочно-линейную
функцию, у неё будет ровно 4 нуля). На промежутке 
период помещается 52 раза (на нём не менее 
нулей), плюс нуль в точке 
и хотя бы один на интервале 
Итого не менее 210 нулей (210 нулей уже
возможно).
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
