Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове

Первое решение.

Обозначим Видно, что Тогда надо понять, почему число

является полным квадратом. Утроенное произведение разнесём в три скобки, а удвоенные произведения — по двум соседним скобкам:

Получилось явно выделить полный квадрат.

Второе решение.

Просто раскроем скобки и получим

Теперь надо понять, квадратом какого числа это может быть.

Заметим, что каждый одночлен является либо квадратом , либо произведением каких-то двух чисел из этого набора. Отсюда вытекает вывод, что это должен быть квадрат , в чём нетрудно убедиться сравнением коэффициентов в одночленах. Действительно, при возведении этого выражения в квадрат полезут только упомянутые ранее квадраты и попарные произведения, которые нам и требуются.

Замечание.

Если число всё ещё кажется взявшимся из ниоткуда, то на помощь приходит симметрия. Поскольку выражение из условия симметрично относительно любой перестановки переменных, то и сам квадрат должен быть таким же. Отсюда, например, угадав набор слагаемых , можно угадать знаки перед ними: знаки не могут быть разными для и или для и , ведь это испортило бы симметрию!