Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове

Тема Ломоносов

Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#47067Максимум баллов за задание: 7

Функция $f$ с областью определения $D (f) =[1;+∞ )$ удовлетворяет равенству

(4y+-4−y) f 2 =y

для любого $y ≥0$ . Для каждого значения $a⁄= 0$ решите неравенство

( ) f --a-- ≤1. x+ 2a

Источники: Ломоносов-2013, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте рассмотрим обратную к f функцию. Она по y будет выдавать (4^y + 4^-y)/2. А что у этой функции с монотонностью?

Подсказка 2!

Верно, она монотонно возрастает, значит и наша f будет монотонно возрастать. Попробуйте применить это в неравенстве, которое нам надо рассмотреть

Подсказка 3!

То есть применим к обеим частям неравенства функцию g и получим новое неравенство, более удобное для работы.

Показать ответ и решение

Функция $f$ является обратной к функции $g(y)= 4y+4−y 2$ для $y ≥0$ . Поскольку здесь $g$ монотонно возрастает, то и $f$ , как обратная, будет монотонно возрастать. Отсюда следует

( a ) a 17 f x+-2a- ≤ 1 ⇐⇒ x+-2a ≤ g(1)= 8

Дополнительно учитываем ОДЗ, то есть $x+a2a-≥1$ . Имеем систему

{ { xa+2a-≤ 178- ⇐ ⇒ 17xx++226aa≥ 0 xa+2a-≥1 xx++a2a ≤ 0

Точками смены знака будут $26a − -17-,− a,− 2a$ , однако их порядок зависит от знака $a$ . При $a >0$ получаем решения $26a x∈ [− 17 ,−a]$ , а при $a < 0$ $26a x∈ [− a,− 17 ]$ .

Ответ:

$[− 26a-;− a] 17$ при $a> 0$

$\text{[math]}$

$[ 26a] −a;− 17$ при $a <0$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#60540Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что если числа $x,y$ и $z$ — целые, то число

1( 4 4 4) 2 (x − y) +(y− z)+ (z− x)

является квадратом некоторого целого числа.

Источники: Ломоносов-2013, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что сумма выражений под четвёртыми степенями равна нулю. Тогда как вместо трёх неизвестных сделать две?

Подсказка 2

Можно обозначить числа в скобках как a, b, -(a+b). Теперь раскройте четвёртую степень суммы a+b и поразмышляйте, квадратом какого числа может быть выражение из условия

Подсказка 3

Оно симметрично от перестановки a и b, при этом имеет четвёртую степень. Значит, надо пробовать собирать квадрат какого-то симметричного многочлена от a и b второй степени. Используйте сумму квадратов и произведение чисел ab

Показать доказательство

Первое решение.

Обозначим $a =x − y,b= y− z,c= z− x.$ Видно, что $a +b+ c= 0.$ Тогда надо понять, почему число

1 4 4 4 2(a + b +(−a− b))=

1 = 2(a4+ b4+ a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+ b4) =a4+ 2a3b+ 3a2b2+ 2ab3+ b4

является полным квадратом. Утроенное произведение $a2b2$ разнесём в три скобки, а удвоенные произведения — по двум соседним скобкам:

(a4+ a3b+a2b2)+(a3b +a2b2 +ab3)+(a2b2+ ab3+b4)=

=a2(a2 +ab+ b2)+ ab(a2+ ab+b2)+b2(a2+ ab+ b2)=

= (a2 +ab+ b2)2

Получилось явно выделить полный квадрат.

Второе решение.

Просто раскроем скобки и получим

$1 4 3 22 3 4 4 3 22 3 4 2(x − 4x y+ 6xy − 4yx +y + y − 4y z+ 6yz − 4zy +z + +z4− 4z3x+ 6x2z2− 4x3z +x4)= =x4+ y4+ z4+3(x2y2+ z2y2+x2z2)− 2(x3y +y3x+ z3x +x3z+ y3z +z3y)$

Теперь надо понять, квадратом какого числа это может быть.

Заметим, что каждый одночлен является либо квадратом $2 2 2 x ,y,z ,xy,zy,xz$ , либо произведением каких-то двух чисел из этого набора. Отсюда вытекает вывод, что это должен быть квадрат $2 2 2 x +y + z − xy− zx− zy$ , в чём нетрудно убедиться сравнением коэффициентов в одночленах. Действительно, при возведении этого выражения в квадрат полезут только упомянутые ранее квадраты и попарные произведения, которые нам и требуются.

Замечание.

Если число всё ещё кажется взявшимся из ниоткуда, то на помощь приходит симметрия. Поскольку выражение из условия симметрично относительно любой перестановки переменных, то и сам квадрат должен быть таким же. Отсюда, например, угадав набор слагаемых $x2,y2,z2,xy,zy,xz$ , можно угадать знаки перед ними: знаки не могут быть разными для $x2$ и $y2$ или для $xy$ и $zy$ , ведь это испортило бы симметрию!

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#65395Максимум баллов за задание: 7

Функция $f(x)$ удовлетворяет при каждом значении $x$ равенству

f(x+ 2)=f(x)+ 4x +4.

Найдите $f(2012)$ , если $f(2)= 0$ .

Источники: Ломоносов-2012

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам фактически дано рекуррентное соотношение. Что оно позволяет найти, если подставить вместо x что-то удобное?

Подсказка 2

Если подставить 2, то находим f(4), потом если подставить 4, то находим f(6), и т.д.

Подсказка 3

Попробуйте записать такую подстановку x=2t в общем виде. Или же можно угадать, чему равно f(2t), и потом доказать по индукции.

Показать ответ и решение

Вычислим значение функции в произвольной чётной точке $2t$ :

f(2t)= f(2(t− 1))+4(2(t− 1))+ 4= f(2(t− 2))+ 4(2(t− 1)+2(t− 2))+4 ⋅2 =

= f(2(t− 3))+4(2(t− 1)+2(t− 2)+ 2(t− 3))+ 4⋅3= ...= f(2)+ 4(2(t− 1)+ ...+2 ⋅1)+ 4(t− 1)=

= 8(1+ 2+ ...+t− 1)+4(t− 1)= 4t2 − 4

Более формально равенство $f(2t)= 4t2− 4$ можно доказать индукцией по $t$ . Таким образом, $f(2012)= 4048140$ .

Ответ: 4048140

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#67153Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

(3 ) (2 )2 4 x − x = x +1

Источники: Ломоносов, 2012, 8--9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На первый взгляд в голову приходит только раскрытие скобок. Что ж, здесь это сделать просто, поэтому сделаем это)

Подсказка 2

Хм, многочлен четвёртой степени... Такое просто так не решишь. Разложить на множители не получается. Можно заметить, что коэффициенты этого уравнения с точностью до знаков симметричны! Но пока не особо понятно, как это может помочь( А давайте подумаем над следующей идеей: может, можно привести это уравнение к квадратному? Сразу это сделать не получается, но можно, например, преобразовать этот многочлен так, чтобы максимальная степень была равна 2...

Подсказка 3

Сделать это можно, разделив уравнение на x², предварительно заметив, что x ≠ 0. А теперь можно погруппировать слагаемые, так как теперь вся надежда на замену!

Подсказка 4

Ура, здесь можно сделать замену t = x - 1/x. Остаётся только решить получившееся квадратное уравнение и сделать обратную замену! Подобные уравнения, в которых коэффициенты симметричны, часто решаются с помощью деления на x², запомните этот приём)

Показать ответ и решение

Раскроем скобки:

4 3 2 x − 4x + 2x + 4x+ 1= 0

$x= 0$ не является корнем уравнения, поэтому поделим обе части на $x2 :$

2 4 1- 2 -1 ( 1) x − 4x+ 2+ x + x2 = 0⇔ x + x2 − 4 x− x + 2= 0

Сделаем замену $1 t= x− x;$ Тогда $2 2 1- t = x + x2 − 2$ и получаем

t2 +2− 4t+2 =0 ⇔ t=2

Обратная замена:

1 x2-− 2x−-1 √ - x− x = 2⇔ x = 0⇔ x =1 ± 2

Ответ:

$1± √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#47063Максимум баллов за задание: 7

На сколько одно из двух положительных чисел больше другого, если их среднее арифметическое равно $2√3-$ , а среднее геометрическое равно $√- 3$ ?

Источники: Ломоносов-2009, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Составляем уравнения для чисел a и b в соответствии с условием. (a+b)/2 = 2 √3 и √(ab) = √3.

Подсказка 2!

Остается найти числа, зная их сумму и произведение! Например, по известной теореме о корнях многочленов!

Показать ответ и решение

Пусть эти числа $a,b$ , тогда из условия

{ a+b= 2√3 √2ab= √3

{ a+ b=4√3- 2 √- √ - ab=3 ⇐⇒ a,b — корни t − 4 3t+3 =0 ⇐ ⇒ a,b= 2 3± 3

Оба числа действительно положительны и разница между ними равна $6$ .

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#100195Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары $(x,y)$ , при каждой из которых для чисел

∘----3---- y y u= 4+ x − 9x− x − 3 и v = 2− x− 3

справедливы все три следующих высказывания сразу:

если $|u|>|v|,$ то $u >0,$

если $|u|<|v|,$ то $0 >v,$

а если $|u|= |v|,$ то $u> 0> v.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно переписать вопрос задачи?

Подсказка 2

Например, первое высказывание равносильно u > v.

Показать ответ и решение

Если $|u|>|v|$ , то $u >0 ⇐ ⇒ u >v$ ,

если $|u|<|v|$ , то $0 >v ⇐ ⇒ u >v$ ,

а если $|u|= |v|$ , то $u> 0> v ⇐⇒ u> v$ .

Поэтому одновременное выполнение всех трёх высказываний задачи равносильно следующему:

⌊ { | |u|> |v|, ||| { u> 0, || |u|< |v|, ||| { 0> v, ⌈ |u|= |v|, u> 0> v

⌊ { |u|>|v|, || || { u >v, ||| |u|<|v|, || { u >v, ⌈ |u|=|v|, u >v

u> v

∘ --------- 4+x3 − 9x> 2

4+ x3− 9x >4

[ −3< x< 0, x> 3.

Замечание. Тот же результат можно получить графически, если отдельно для каждой из трёх систем рассматриваемой совокупности изобразить на координатной плоскости множество точек ( $u,v$ ), удовлетворяющих этой системе, а затем взять объединение всех трёх построенных множеств.

Ответ:

подходят пары $(x,y),$ такие что $x ∈(−3;0)∪ (3;+∞ )$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#115994Максимум баллов за задание: 7

Какое наибольшее число раз можно последовательно взять логарифм по основанию $3$ от числа $2781$ (первый раз логарифм берётся от этого числа, а затем всякий раз — от числа, полученного в предыдущий раз)?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем взять логарифм первый раз. Какое число получится?

Подсказка 2

Останется 3*81. Интересно, число уже не такое большое, поэтому можно проделать процесс дальше вручную ;)

Показать ответ и решение

Последовательно вычисляя логарифм по основанию 3, получаем цепочку

81 27 → 3⋅81→ 5→ 1,...→ 0,...→ a< 0

А от отрицательного числа логарифм уже не берётся.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#91915Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘ -x2- ( 5√x)5 2 = 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, что такое корень из числа. √x = x^(0.5). Воспользуемся этим!

Подсказка 2

Не забудем, что (x^(a))^b = x^(ab). Что же мы получили?

Подсказка 3

2^(x²/2) = 2^(25√x). Степени нам мешают, что же с ними сделать?

Подсказка 4

Верно! Прологарифмировать и получить, что x²/2 = 25√x. А теперь осталось посчитать... Успехов!

Показать ответ и решение

По свойству степеней уравнение равносильно

x2- 25√x 22 = 2 .

x2= 25√x- 2

3√---- x= 2500 или x =0

Ответ:

$√32500-$ или $0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#80431Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

∘ ∘---√--- log4log2 ... 16 ◟---◝4◜0--◞

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перезапишем этот логарифм как-нибудь проще. Вспомним, что корень числа а - это а в степени 1/2. А если мы 40 раз возводим число в 1/2 степень, то что получается в итоге?

Подсказка 2

Конечно, в показателе степени будет 1/2⁴⁰, или 2⁻⁴⁰. 16 также можно представить в виде степени двойки, и остаётся только все напрямую посчитать!

Показать ответ и решение

∘ ∘---√--- ( )−40 log4log2 ... 16= log4log2 242 = log4log224⋅2−40 = ◟---◝4◜0--◞

= log4(4⋅2−40)= log441− 20 = 1− 20= −19

Ответ:

$− 19$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#78857Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

2xy(x3+ y3) (x+ y)(x4 − y4) -x2− xy+-y2 +---x2−-y2----

при

x= −1,6◟. ◝..◜6 ◞7 и y = −1,3◟. ◝..◜3 ◞ 44 45

Источники: Ломоносов - 2005, номер 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Приведите дроби к одному знаменателю.

Подсказка 2

Вспомните формулы сокращенного умножения.

Показать ответ и решение

2xy(x3+ y3) (x +y)(x4− y4) x2−-xy-+y2-+ ---x2−-y2---=

2 2 2 2 2 2 = 2xy(x-+y2)(x-−-xy2+-y) + (x+-y)(x-+2-y-)(2x-− y-)= x − xy+ y x − y

= 2xy(x+ y)+(x+ y)(x2+ y2) =

=(x+ y)(x2+ 2xy +y2)= (x+ y)3

Подставим

x= −1,6◟-..◝.◜6 ◞7 и y = −1,3◟..◝◜.3◞: 44 45

3 3 (− 1,6◟..◝◜.6◞7+(−1,3◟. ◝..◜3 ◞)) = (−3) =− 27 44 45

Ответ:

$− 27$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#100191Максимум баллов за задание: 7

Вычислите

(x− y)(x4− y4) 2xy(x3 − y3) ----x2− y2---− x2+-xy+-y2-

при

x= 1,2◟-..◝.◜22◞, y = −2,7◟-..◝.◜7 ◞8. 46 45

Источники: Ломоносов - 2005, номер 1

Показать ответ и решение

По формулам разности квадратов и разности кубов выражения из условия равно

(2 2) 2 3 (x− y)x + y − 2xy(x− y)= (x− y)(x− y)= (x− y) =

3 3 =(1,2◟..◝4.◜622◞+2,7◟..◝◜45.7◞8) = 4 = 64

Ответ: 64

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#78978Максимум баллов за задание: 7

Решить систему

(| x2 = 2∘y2-+1; { y2 = 2√z2−-1− 2; |( 2 √-2--- z = 4 x + 2− 6.

Источники: Ломоносов - 2013, 11 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Корни выглядят очень неприятно, так что давайте попробуем от них избавиться! Что для этого можно сделать?

Подсказка 2

Да, давайте обозначим каждый из корней какой-то своей буквой, например a, b, c. Тогда каждую из исходных переменных x, y, z — можно выразить через новые a, b, c! Какую систему мы тогда получим?

Подсказка 3

Мы получим систему(с точностью до обозначений): {a² - 2 = 2b; b² - 1 = 2c - 2; c² + 1=4a - 6;} Теперь остаётся придумать, что делать с этой системой...

Подсказка 4

Давайте сложим все три уравнения и перенесём всё в одну часть! Тогда можно выделить три полных квадрата, сумма которых равна нулю. Чтобы закончить решение, достаточно найти такие a, b, c, которые удовлетворяют полученному уравнению и сделать обратную замену!

Показать ответ и решение

Введём обозначения $a= √x2+-2, b= ∘y2+-1, c= √z2−-1.$ Получится система