Алгебраические текстовые задачи на Ломоносове

Пусть км — длина грунтовой части трассы, тогда км — длина асфальтовой части. Нива проезжает один круг за

а Тойота — за

Поскольку автомобили начинают движение по грунтовой дороге, где скорость Нивы выше, Нива изначально выйдёт вперёд и впоследствии совершит обгон, причём обгон может произойти только на грунтовой дороге, где скорость Нивы выше. Пусть к моменту первого обгона Тойоты Нивой Тойота проедет целых кругов и ещё расстояние , где (если , обгона не произойдёт: автомобили поравняются, но после выезда на асфальтовую дорогу Тойота поедет быстрее Нивы). Тогда к моменту обгона время Тойоты в пути будет равно , а время Нивы будет равно

Поскольку автомобили стартуют одновременно, получаем уравнение

откуда

Поскольку , отсюда следует, что или . Значит, к моменту первого обгона Тойота проедет 9 полных кругов и перейдёт на 10-й, а Нива проедет 10 полных кругов и перейдет на 11-й.